Encontre a solução geral de EDO dada abaixo e verifique o resultado:
y′−7y=sen2x,

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 7y = sin(2x)
O método é escrever a solução geral como
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh é a solução da homogênea y'-7y=0 e yp é uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Para a homogênea
y' - 7y = 0
separamos variáveis ou reconhecemos que é de coeficientes constantes, dando
yh(x) = C e^7x,
com C constante arbitrária.

Passo 3

Procuramos yp na forma de combinação linear de sin2x e cos2x, isto é
yp(x) = Asin(2x) + Bcos(2x)
Calculamos a derivada:
yp'(x) = 2Acos(2x) - 2Bsin(2x)
Substituindo em y'-7y=sin(2x) obtemos
l(2Acos2x - 2Bsin2xr) -7l(Asin2x + Bcos2xr) = (-2B -7A)sin2x + (2A -7B)cos2x = sin2x
Logo devemos ter o sistema
-2B - 7A = 1, 2A - 7B = 0

Passo 4

Resolvendo
2A -7B = 0implies A = 72B,
substituindo em -2B -7A=1
-2B -7l(tfrac72Br) = -2B -tfrac492B = -tfrac532B = 1 implies B = -253, A = -753
Portanto
yp(x) = -753sin(2x) ;-;253cos(2x)

Passo 5

A solução geral é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C e^7x -753sin(2x) -253cos(2x)

Passo 6

Verificação rápida: calcule
y'(x)=7C e^7x -753cdot2cos2x +253cdot2sin2x
e então
y'(x)-7y(x) =l(7C e^7x-7C e^7xr) +l(-tfrac1453cos2x+tfrac453sin2xr) -7l(-tfrac753sin2x-tfrac253cos2xr) =sin(2x),
o que confirma que a solução está correta.

Resposta

boxedy(x)=C,e^7x-753sin(2x)-253cos(2x), CinR

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