Encontre a solução geral da EDO homogênea:
.
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea
Informações dadas: a equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes. O objetivo é achar todas as funções
que satisfazem essa igualdade (a solução geral envolve duas constantes arbitrárias porque é uma EDO de segunda ordem).
Passo 2
Idéia básica (ansatz exponencial): para EDOs lineares com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução da forma
onde
é um número que vamos determinar. Porque isso funciona? Simples: derivando temos
e
. Substituindo essas expressões na equação diferencial, todos os termos ficam com o fator comum
, que nunca é zero, permitindo obter uma equação só para
.
Passo 3
Substituindo
na equação:
Fatorando
e dividindo por ele (pois
) chegamos à equação característica
Passo 4
Resolver a equação característica: fatoramos o polinômio
Portanto as raízes são
e
.
Passo 5
Significado das raízes e forma da solução geral: como as raízes
e
são reais e distintas, duas soluções independentes da EDO são
e
. Pela linearidade e pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear dessas duas soluções, com constantes arbitrárias
e
. As constantes aparecem porque a EDO de segunda ordem precisa de duas condições iniciais para fixar uma solução única; na ausência dessas, ficam arbitrárias.
Passo 6
Verificação rápida (para ter confiança): testar
. Temos
,
. Substituindo:
Testar
. Temos
,
. Substituindo:
Logo ambas são soluções; a combinação linear delas também é solução.