Encontre a solução geral da EDO homogênea: y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0.

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea
y'' - 4y' + 3y = 0.
Informações dadas: a equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes. O objetivo é achar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade (a solução geral envolve duas constantes arbitrárias porque é uma EDO de segunda ordem).

Passo 2

Idéia básica (ansatz exponencial): para EDOs lineares com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é um número que vamos determinar. Porque isso funciona? Simples: derivando temos y'(x)=r e^{rx} e y''(x)=r^{2} e^{rx}. Substituindo essas expressões na equação diferencial, todos os termos ficam com o fator comum e^{rx}, que nunca é zero, permitindo obter uma equação só para r.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} na equação:
r^{2}e^{rx} - 4r e^{rx} + 3 e^{rx} = 0.
Fatorando e^{rx} e dividindo por ele (pois e^{rx}\neq 0) chegamos à equação característica
r^{2} - 4r + 3 = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica: fatoramos o polinômio
r^{2} - 4r + 3 = (r-1)(r-3)=0.
Portanto as raízes são r_{1}=1 e r_{2}=3.

Passo 5

Significado das raízes e forma da solução geral: como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, duas soluções independentes da EDO são e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x}. Pela linearidade e pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear dessas duas soluções, com constantes arbitrárias C_{1} e C_{2}. As constantes aparecem porque a EDO de segunda ordem precisa de duas condições iniciais para fixar uma solução única; na ausência dessas, ficam arbitrárias.

Passo 6

Verificação rápida (para ter confiança): testar y=e^{x}. Temos y'=e^{x}, y''=e^{x}. Substituindo:
1\cdot e^{x} - 4\cdot e^{x} + 3\cdot e^{x} = (1-4+3)e^{x}=0.
Testar y=e^{3x}. Temos y'=3e^{3x}, y''=9e^{3x}. Substituindo:
9e^{3x}-4\cdot 3e^{3x}+3e^{3x}=(9-12+3)e^{3x}=0.
Logo ambas são soluções; a combinação linear delas também é solução.

Resposta

y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}

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