Exercício 12. Considere os seguintes campos vetoriais definidos em
:
a) Verifique se algum deles é conservativo e, caso positivo, determine uma função potencial;
b) Calcule o trabalho de
sobre o segmento ligando
a
, orientado para cima;
c) Calcule o trabalho do campo
ao longo da circunferência
orientada no sentido anti-horário.
b) Calcule o trabalho de
c) Calcule o trabalho do campo
Passo 1
O enunciado dá dois campos vetoriais em
:
As perguntas são:
a) Verificar se algum dos campos é conservativo; se for, achar uma função potencial.
b) Calcular o trabalho de sobre o segmento que liga
a
, orientado para cima.
c) Calcular o trabalho de ao longo da circunferência
orientada no sentido anti-horário.
a) Verificar se algum dos campos é conservativo; se for, achar uma função potencial.
b) Calcular o trabalho de
c) Calcular o trabalho de
Passo 2
Conceitos úteis (aulas rápidas e práticas antes de começar a resolver):
- Um campo vetorial em 2D escrito como
é o gradiente de uma função (ou seja, é conservativo) se existir tal que
Nesse caso, o trabalho entre dois pontos independe do caminho e vale
.
- Um teste rápido: se o domínio for simplesmente conexo e
têm derivadas parciais contínuas, então uma condição equivalente é
Atenção importante: quando o domínio NÃO é simplesmente conexo (como
), essa igualdade sozinha não garante que o campo seja globalmente conservativo — pode haver “vazios” (buracos) que impedem um potencial global.
- Outra forma prática: tentar encontrar explicitamente
integrando em relação a (ou em relação a ) e ajustando com uma função de integração. Se achar válida em todo o domínio, então o campo é conservativo naquele domínio.
Passo 3
Analisando
. Vou tentar reconhecer um possível potencial por inspeção e depois confirmar com derivadas.
Observe que a função candidata
Observe que a função candidata
tem derivadas:
Como esses pedaços coincidem exatamente com as componentes de
, concluímos que
Portanto
é conservativo em qualquer ponto onde
é definida (isto é, para todo
com
, ou seja em
).
Passo 4
Comentários sobre a validade do potencial de
:
- A função
está bem definida e suave em todo porque ali . - Mesmo que
não seja simplesmente conexo, isso não impede que exista um potencial explícito; no caso de ele existe globalmente no domínio dado. Portanto é conservativo no domínio fornecido.
Passo 5
Calcular o trabalho de
entre os pontos
(início) e
(fim) usando o potencial encontrado.
Por ser conservativo, o trabalho vale
Por ser
Compute cada valor:
Logo
Passo 6
Analisando
. Primeiro escrevo as componentes e faço o teste das derivadas parciais:
Calculo
e
(mostro passo a passo):
- Para
:
- Para
:
Portanto
em
. O “curl” é zero fora da origem. Contudo, como o domínio tem um buraco no centro, a igualdade das derivadas parciais não garante conservatividade global — é preciso verificar integrais de laço (ou achar um potencial global).
Passo 7
Verificação direta da não-conservatividade de
calculando seu integral ao longo da circunferência
(sentido anti-horário). Parametrizo a circunferência por
Então
Agora substituo em
e calcule
. Primeiro avalio
ao longo da curva:
O vetor diferencial de posição é
. O produto escalar é
Simplificando:
Portanto o trabalho ao longo da circunferência é
Como existe um laço fechado (a circunferência) sobre o qual o integral de linha de
é diferente de zero (
),
não é conservativo em
.
Passo 8
Interpretação geométrica curta (pra fixar): em coordenadas polares
temos
(vetor tangente unitário dividido por
). Isso explica porque o trabalho numa volta é
. Já
é radial e deriva de
, por isso o trabalho entre pontos depende só das distâncias ao centro.
Resposta
a)
é conservativo com potencial
. \n
não é conservativo em
.
b) .
c) .
b)
c)