Exercício 12. Considere os seguintes campos vetoriais definidos em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} :
F(x, y)=\left(\frac{2 x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{2 y}{x^{2}+y^{2}}\right) \quad \text { e } \quad G(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)
a) Verifique se algum deles é conservativo e, caso positivo, determine uma função potencial;
b) Calcule o trabalho de F sobre o segmento ligando (1,-1) a (1,3), orientado para cima;
c) Calcule o trabalho do campo G ao longo da circunferência x^{2}+y^{2}=9 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado dá dois campos vetoriais em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}:
F(x,y)=\left(\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\right)
G(x,y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)
As perguntas são:
a) Verificar se algum dos campos é conservativo; se for, achar uma função potencial.
b) Calcular o trabalho de F sobre o segmento que liga (1,-1) a (1,3), orientado para cima.
c) Calcular o trabalho de G ao longo da circunferência x^{2}+y^{2}=9 orientada no sentido anti-horário.

Passo 2

Conceitos úteis (aulas rápidas e práticas antes de começar a resolver):
  • Um campo vetorial em 2D escrito como (P(x,y),Q(x,y)) é o gradiente de uma função \varphi(x,y) (ou seja, é conservativo) se existir \varphi tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q.
Nesse caso, o trabalho entre dois pontos independe do caminho e vale \varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início})í.
  • Um teste rápido: se o domínio for simplesmente conexo e P,Q têm derivadas parciais contínuas, então uma condição equivalente é
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Atenção importante: quando o domínio NÃO é simplesmente conexo (como \mathbb{R}^2-\{(0,0)\}), essa igualdade sozinha não garante que o campo seja globalmente conservativo — pode haver “vazios” (buracos) que impedem um potencial global.
  • Outra forma prática: tentar encontrar explicitamente \varphi integrando P em relação a x (ou Q em relação a y) e ajustando com uma função de integração. Se achar \varphi válida em todo o domínio, então o campo é conservativo naquele domínio.

Passo 3

Analisando F. Vou tentar reconhecer um possível potencial por inspeção e depois confirmar com derivadas.
Observe que a função candidata
\varphi(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
tem derivadas:
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Como esses pedaços coincidem exatamente com as componentes de F, concluímos que
F=\nabla \varphi\quad\text{com}\quad \varphi(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Portanto F é conservativo em qualquer ponto onde \varphi é definida (isto é, para todo (x,y) com x^{2}+y^{2}>0, ou seja em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}).

Passo 4

Comentários sobre a validade do potencial de F:
  • A função \varphi(x,y)=\ln(x^{2}+y^{2}) está bem definida e suave em todo \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} porque ali x^{2}+y^{2}>0.
  • Mesmo que \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} não seja simplesmente conexo, isso não impede que exista um potencial explícito; no caso de F ele existe globalmente no domínio dado. Portanto F é conservativo no domínio fornecido.

Passo 5

Calcular o trabalho de F entre os pontos (1,-1) (início) e (1,3) (fim) usando o potencial encontrado.
Por ser F conservativo, o trabalho vale
W=\varphi(1,3)-\varphi(1,-1).
Compute cada valor:
\varphi(1,3)=\ln\bigl(1^{2}+3^{2}\bigr)=\ln(10),
\varphi(1,-1)=\ln\bigl(1^{2}+(-1)^{2}\bigr)=\ln(2).
Logo
W=\ln(10)-\ln(2)=\ln\!\left(\frac{10}{2}\right)=\ln(5).

Passo 6

Analisando G. Primeiro escrevo as componentes e faço o teste das derivadas parciais:
P(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Calculo \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y (mostro passo a passo):
  • Para \partial Q/\partial x:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{(x^{2}+y^{2})-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
  • Para \partial P/\partial y:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\right) =\frac{-(x^{2}+y^{2})-(-y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto \partial Q/\partial x=\partial P/\partial y em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}. O “curl” é zero fora da origem. Contudo, como o domínio tem um buraco no centro, a igualdade das derivadas parciais não garante conservatividade global — é preciso verificar integrais de laço (ou achar um potencial global).

Passo 7

Verificação direta da não-conservatividade de G calculando seu integral ao longo da circunferência x^{2}+y^{2}=9 (sentido anti-horário). Parametrizo a circunferência por
x(t)=3\cos t,\qquad y(t)=3\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Então
dx=-3\sin t\,dt,\qquad dy=3\cos t\,dt.
Agora substituo em G e calcule G\cdot (dx,dy). Primeiro avalio G ao longo da curva:
G(x(t),y(t))=\left(\frac{-3\sin t}{9},\;\frac{3\cos t}{9}\right) =\left(-\frac{\sin t}{3},\;\frac{\cos t}{3}\right).
O vetor diferencial de posição é (dx,dy)=(-3\sin t\,dt,\;3\cos t\,dt). O produto escalar é
G\cdot (dx,dy)=\left(-\frac{\sin t}{3}\right)(-3\sin t\,dt)+\left(\frac{\cos t}{3}\right)(3\cos t\,dt).
Simplificando:
G\cdot (dx,dy)=(\sin^{2}t+\cos^{2}t)\,dt=1\cdot dt.
Portanto o trabalho ao longo da circunferência é
\int_{0}^{2\pi} 1\,dt=2\pi.
Como existe um laço fechado (a circunferência) sobre o qual o integral de linha de G é diferente de zero ( 2\pi), G não é conservativo em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}.

Passo 8

Interpretação geométrica curta (pra fixar): em coordenadas polares (r,\theta) temos G=\dfrac{1}{r}\,e_{\theta} (vetor tangente unitário dividido por r). Isso explica porque o trabalho numa volta é \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi. Já F é radial e deriva de \ln r^{2}, por isso o trabalho entre pontos depende só das distâncias ao centro.

Resposta

a) F é conservativo com potencial \displaystyle \varphi(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr). \n G não é conservativo em \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\}.
b) W_{F}=\ln(5).
c) W_{G}=2\pi.

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