Resolva o problema de valor inicial:
e
.
Passo 1
Enunciado e dados: resolver o problema de valor inicial dado por
com as condições iniciais
Informações importantes fornecidas:
Passo 2
Escolha do método: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a equação característica. A ideia é procurar soluções da forma
, porque derivadas de
retornam múltiplos de
e isso transforma a EDO numa equação algébrica para
. Essa transformação é padrão e muito útil: se
então
e
. Substituindo na EDO obtém-se a equação em
.
Passo 3
Formar e resolver a equação característica. Substituindo
em
obtemos, dividindo por
(que nunca é zero),
Esta é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la reduzindo-a a fatoração, pois reconhecemos um quadrado perfeito:
Portanto a equação característica tem uma raiz real dupla
Passo 4
Regra para raiz repetida: quando a equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade
(ou mais), as soluções independentes associadas são
e
. Em geral, para multiplicidade
usamos
. Aqui, com raiz dupla
, a forma geral da solução é
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais. Explico rapidamente por que: a segunda solução
aparece para garantir independência linear quando temos multiplicidade maior que 1; sem ela as combinações seriam dependentes.
Passo 5
Agora vamos aplicar as condições iniciais. Primeiro, avalie
. Usando a forma geral,
Da condição inicial
obtemos
Passo 6
Precisamos de
para usar
. Calcule
passo a passo aplicando a regra do produto: se
então
As derivadas são
e
. Substituindo,
Colocando em fator comum
,
Passo 7
Avaliar
. Substituindo
e lembrando que já temos
,
A condição inicial diz
, logo
Resolvendo, obtemos
Passo 8
Substituímos os valores encontrados das constantes
e
na forma geral da solução para obter a solução particular do problema de valor inicial. (A solução final é apresentada na seção de resposta.)