Resolva o problema de valor inicial: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0, \operatorname{com} y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-1.

Passo 1

Enunciado e dados: resolver o problema de valor inicial dado por
y'' + 2y' + y = 0,
com as condições iniciais
y(0)=1\quad\text{e}\quad y'(0)=-1.
Informações importantes fornecidas:
\text{(i) equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes;}çãê
\text{(ii) condição inicial em }x=0\text{ para }y\text{ e }y'.çã

Passo 2

Escolha do método: para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a equação característica. A ideia é procurar soluções da forma y=e^{rx}, porque derivadas de e^{rx} retornam múltiplos de e^{rx} e isso transforma a EDO numa equação algébrica para r. Essa transformação é padrão e muito útil: se y=e^{rx} então y'=r e^{rx} e y''=r^2 e^{rx}. Substituindo na EDO obtém-se a equação em r.

Passo 3

Formar e resolver a equação característica. Substituindo y=e^{rx} em y''+2y'+y=0 obtemos, dividindo por e^{rx} (que nunca é zero),
r^2 + 2r + 1 = 0.
Esta é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la reduzindo-a a fatoração, pois reconhecemos um quadrado perfeito:
r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0.
Portanto a equação característica tem uma raiz real dupla
r = -1\quad\text{com multiplicidade }2.

Passo 4

Regra para raiz repetida: quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2 (ou mais), as soluções independentes associadas são \,e^{rx}\, e \,x e^{rx}\,. Em geral, para multiplicidade m usamos e^{rx}, x e^{rx}, x^2 e^{rx},\dots,x^{m-1} e^{rx}. Aqui, com raiz dupla r=-1, a forma geral da solução é
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais. Explico rapidamente por que: a segunda solução x e^{rx} aparece para garantir independência linear quando temos multiplicidade maior que 1; sem ela as combinações seriam dependentes.

Passo 5

Agora vamos aplicar as condições iniciais. Primeiro, avalie y(0). Usando a forma geral,
y(0) = \bigl(C_1 + C_2\cdot 0\bigr)e^{0} = C_1.
Da condição inicial y(0)=1 obtemos
C_1 = 1.

Passo 6

Precisamos de y'(x) para usar y'(0)=-1. Calcule y'(x) passo a passo aplicando a regra do produto: se y=(C_1 + C_2 x)e^{-x} então
y'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(C_1 + C_2 x\bigr)\cdot e^{-x} + \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)\cdot \frac{d}{dx}e^{-x}.
As derivadas são \frac{d}{dx}(C_1 + C_2 x)=C_2 e \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}. Substituindo,
y'(x) = C_2 e^{-x} + \bigl(C_1 + C_2 x\bigr)(-e^{-x}).
Colocando em fator comum e^{-x},
y'(x) = \bigl(C_2 - C_1 - C_2 x\bigr)e^{-x}.

Passo 7

Avaliar y'(0). Substituindo x=0 e lembrando que já temos C_1=1,
y'(0) = \bigl(C_2 - C_1 - C_2\cdot 0\bigr)e^{0} = C_2 - C_1 = C_2 - 1.
A condição inicial diz y'(0)=-1, logo
C_2 - 1 = -1.
Resolvendo, obtemos
C_2 = 0.

Passo 8

Substituímos os valores encontrados das constantes C_1 e C_2 na forma geral da solução para obter a solução particular do problema de valor inicial. (A solução final é apresentada na seção de resposta.)

Resposta

y(x)=e^{-x}

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