- a) Encontre a solução geral da EDO
para
e para
.
b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
para
.
b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede a solução geral para os três casos
,
e
. Em seguida, na parte (b), temos a mesma equação, mas agora não homogênea, com termo forçante
para
, e precisamos apenas propor a forma adequada de uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a equação homogênea montamos a equação característica
O discriminante é
cujo sinal determina a natureza das raízes.
Passo 3
Caso
: então
. As raízes são complexas conjugadas
Logo a solução geral é
Passo 4
Caso
: então
e a raiz é dupla
A solução geral, atendendo à multiplicidade 2, é
Passo 5
Caso
: então
e as raízes são reais distintas
Portanto
Passo 6
Para a parte (b) com
, o forçante é
Pelo método dos coeficientes indeterminados, se o termo forçante é da forma
a gente supõe
onde
é polinomial de grau
e
é a multiplicidade de
como raiz da característica. Aqui
,
,
(grau
) e a raiz
é simples
. Assim a forma apropriada de
é
com
a determinar.
Resposta
a)
b) Para
, a forma adequada de solução particular é