1. a) Encontre a solução geral da EDO
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\alpha y=0
para \alpha>1, \alpha=1 e para \alpha<1.
b) Determine a forma adequada para uma solução particular da equação
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\alpha y=t e^{-t} \operatorname{sen}(\sqrt{\alpha-1} t)
para \alpha>1.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + \alpha\,y = 0
e pede a solução geral para os três casos \alpha>1, \alpha=1 e \alpha<1. Em seguida, na parte (b), temos a mesma equação, mas agora não homogênea, com termo forçante
t\,e^{-t}\sin\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr),
para \alpha>1, e precisamos apenas propor a forma adequada de uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a equação homogênea montamos a equação característica
r^2 + 2r + \alpha = 0.
O discriminante é
\Delta = 2^2 - 4\alpha = 4(1-\alpha),
cujo sinal determina a natureza das raízes.

Passo 3

Caso \alpha>1: então \Delta<0. As raízes são complexas conjugadas
r = -1 \pm i\,\sqrt{\alpha-1}.
Logo a solução geral é
y(t) = e^{-t}\Bigl(C_1\cos\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr) + C_2\sin\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr)\Bigr).

Passo 4

Caso \alpha=1: então \Delta=0 e a raiz é dupla
r = -1.
A solução geral, atendendo à multiplicidade 2, é
y(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-t}.

Passo 5

Caso \alpha<1: então \Delta>0 e as raízes são reais distintas
r = -1 \pm \sqrt{1-\alpha}.
Portanto
y(t) = C_1\,e^{(-1+\sqrt{1-\alpha})\,t} + C_2\,e^{(-1-\sqrt{1-\alpha})\,t}.

Passo 6

Para a parte (b) com \alpha>1, o forçante é
t\,e^{-t}\sin\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr).
Pelo método dos coeficientes indeterminados, se o termo forçante é da forma
P_m(t)\,e^{\alpha_0 t}\sin(\beta t) \quad\text{ou}\quad P_m(t)\,e^{\alpha_0 t}\cos(\beta t),
a gente supõe
y_p(t) = t^s\,e^{\alpha_0 t}\bigl[A_m(t)\cos(\beta t) + B_m(t)\sin(\beta t)\bigr],
onde P_m é polinomial de grau m e s é a multiplicidade de \alpha_0\pm i\beta como raiz da característica. Aqui \alpha_0=-1, \beta=\sqrt{\alpha-1}, P_1(t)=t (grau m=1) e a raiz -1\pm i\beta é simples s=1. Assim a forma apropriada de y_p é
y_p(t) = t\,e^{-t}\Bigl((A\,t + B)\cos\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr) + (C\,t + D)\sin\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr)\Bigr),
com A,B,C,D a determinar.

Resposta

a) \displaystyle\alpha>1:\;y(t)=e^{-t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{\alpha-1}\,t)+C_2\sin(\sqrt{\alpha-1}\,t)\bigr). \displaystyle\alpha=1:\;y(t)=(C_1+C_2\,t)\,e^{-t}. \displaystyle\alpha<1:\;y(t)=C_1\,e^{(-1+\sqrt{1-\alpha})\,t}+C_2\,e^{(-1-\sqrt{1-\alpha})\,t}.
b) Para \alpha>1, a forma adequada de solução particular é
y_p(t) = t\,e^{-t}\Bigl((A\,t + B)\cos\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr) + (C\,t + D)\sin\bigl(\sqrt{\alpha-1}\,t\bigr)\Bigr).

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