Encontre a solução geral da EDO
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=x e^{-5 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y'' + 5y' + 6y = x\,e^{-5x}.
Trata‐se de uma equação linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes. A estratégia é escrever a solução geral como
y(x) = y_h(x) + y_p(x),
onde y_h é a solução da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular da parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro achamos y_h resolvendo
y'' + 5y' + 6y = 0.
O polinômio característico é
r^2 + 5r + 6 = 0
com raízes r = -2 e r = -3. Logo
y_h(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

Agora buscamos um particular y_p. Como o termo forçante é x\,e^{-5x} e e^{-5x} não aparece em y_h, tentamos
y_p(x) = (A x + B)\,e^{-5x}.
Calculamos as derivadas:
y_p' = \bigl(A - 5(Ax + B)\bigr)\,e^{-5x} = \bigl(-5A x + A - 5B\bigr)\,e^{-5x},
y_p'' = \Bigl(25A x -10A + 25B\Bigr)\,e^{-5x}.
Substituindo em y''+5y'+6y, obtemos
y_p'' + 5y_p' + 6y_p = \bigl[6A x +(-5A +6B)\bigr]\,e^{-5x}.

Passo 4

Para que isso seja igual a x\,e^{-5x}, igualamos coeficientes:
6A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = \tfrac16,
-5A + 6B = 0 \quad\Rightarrow\quad -5\bigl(\tfrac16\bigr) + 6B = 0 \;\Rightarrow\; B = \tfrac{5}{36}.
Logo
y_p(x) = \Bigl(\tfrac16 x + \tfrac{5}{36}\Bigr)e^{-5x}.

Passo 5

A solução geral da EDO é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} + \Bigl(\tfrac16 x + \tfrac{5}{36}\Bigr)e^{-5x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} + \Bigl(\tfrac16 x + \tfrac{5}{36}\Bigr)e^{-5x}.

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