Considere a esfera de raio a>0 descrita por
X(u, v)=(a \operatorname{sen} v \cos u, a \operatorname{sen} v \operatorname{sen} u, a \cos v)
u \in \mathbb{R}, v \in(0, \pi). Verifique que a curvatura gaussiana é constante igual a 1 / a^{2}, usando a Proposição 6.4. Dê um exemplo de uma curva regular de X cuja curvatura k é constante e diferente de 1 / a.

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da esfera de raio a>0
X(u,v)=\bigl(a\sin v\cos u,\;a\sin v\sin u,\;a\cos v\bigr), \quad u\in\mathbb R,\;v\in(0,\pi),
e pede (1) verificar que a curvatura gaussiana K é constante igual a 1/a^{2}, usando a fórmula
K=\frac{LN - M^{2}}{EG - F^{2}},
onde E,F,G são os coeficientes da primeira forma fundamental e L,M,N os da segunda; e (2) dar um exemplo de curva regular em X cuja curvatura em \mathbb R^{3} é constante e diferente de 1/a.

Passo 2

Calcular X_{u} e X_{v}.
X_{u} =\bigl(-a\sin v\sin u,\;a\sin v\cos u,\;0\bigr), \quad X_{v} =\bigl(a\cos v\cos u,\;a\cos v\sin u,\;-a\sin v\bigr).

Passo 3

Computar os coeficientes da primeira forma fundamental:
E=\langle X_{u},X_{u}\rangle =a^{2}\sin^{2}v, \quad F=\langle X_{u},X_{v}\rangle =0, \quad G=\langle X_{v},X_{v}\rangle =a^{2}.

Passo 4

Encontrar a normal unitária
X_{u}\times X_{v} =-a^{2}\sin v\,( \sin v\cos u,\;\sin v\sin u,\;\cos v) \quad\Longrightarrow\quad N=\frac{X_{u}\times X_{v}}{\|X_{u}\times X_{v}\|} =(\sin v\cos u,\;\sin v\sin u,\;\cos v).
Calcular agora a segunda forma fundamental:
X_{uu}=(-a\sin v\cos u,-a\sin v\sin u,0), \quad X_{uv}=(-a\cos v\sin u,a\cos v\cos u,0), \quad X_{vv}=(-a\sin v\cos u,-a\sin v\sin u,-a\cos v).
Logo
L=\langle X_{uu},N\rangle=-a\sin^{2}v, \quad M=\langle X_{uv},N\rangle=0, \quad N_{\text{II}}=\langle X_{vv},N\rangle=-a.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Gauss:
K=\frac{LN - M^{2}}{EG - F^{2}} =\frac{(-a\sin^{2}v)(-a)-0}{(a^{2}\sin^{2}v)(a^{2})} =\frac{a^{2}\sin^{2}v}{a^{4}\sin^{2}v} =\frac{1}{a^{2}}.
Portanto K\equiv1/a^{2}.

Passo 6

Escolher uma curva de latitude (paralela) em v=v_{0}\neq\pi/2:
\alpha(u)=X(u,v_{0}) =\bigl(a\sin v_{0}\cos u,\;a\sin v_{0}\sin u,\;a\cos v_{0}\bigr).
É um círculo de raio a\sin v_{0} num plano paralelo ao plano xy. A sua curvatura em \mathbb R^{3} é
k=\frac{1}{a\sin v_{0}},
constante e, para v_{0}\neq\pi/2, diferente de 1/a.

Resposta

A curvatura gaussiana é K=1/a^{2}.
Um exemplo de curva com curvatura constante diferente de 1/a é a paralela v=v_{0}\neq\pi/2, cuja curvatura espacial é k=1/(a\sin v_{0}).

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