Considere a esfera de raio
descrita por
. Verifique que a curvatura gaussiana é constante igual a
, usando a Proposição 6.4. Dê um exemplo de uma curva regular de
cuja curvatura
é constante e diferente de
.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização da esfera de raio
e pede (1) verificar que a curvatura gaussiana
é constante igual a
, usando a fórmula
onde
são os coeficientes da primeira forma fundamental e
os da segunda; e (2) dar um exemplo de curva regular em
cuja curvatura em
é constante e diferente de
.
Passo 2
Calcular
e
.
Passo 3
Computar os coeficientes da primeira forma fundamental:
Passo 4
Encontrar a normal unitária
Calcular agora a segunda forma fundamental:
Logo
Passo 5
Aplicar a fórmula de Gauss:
Portanto
.
Passo 6
Escolher uma curva de latitude (paralela) em
:
É um círculo de raio
num plano paralelo ao plano
. A sua curvatura em
é
constante e, para
, diferente de
.
Resposta
A curvatura gaussiana é
.
Um exemplo de curva com curvatura constante diferente de é a paralela
, cuja curvatura espacial é
.
Um exemplo de curva com curvatura constante diferente de