Encontre uma solução geral da EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) juntos! A equação que temos é:
Nesse exercício, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais de Segunda Ordem e Funções de Bessel. Precisamos identificar o tipo de equação que estamos lidando e aplicar a teoria adequada para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial temos aqui. A equação dada é de segunda ordem e possui coeficientes variáveis, já que os termos multiplicam potências de $ x $. Esse tipo de equação muitas vezes pode ser relacionado com a Equação de Bessel, que tem a forma:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
- O coeficiente de $ y’’ $ é $ x^{2} $
- O coeficiente de $ y’ $ é $ x $
- O termo independente de $ y $ é $ x^{2} - \frac{1}{9} $
Percebe-se que isso se assemelha muito à Equação de Bessel, onde $ \nu $ é uma constante que define a ordem da equação. No nosso caso, comparando os termos independentes, temos:
Passo 3
Sabendo que nossa equação é uma Equação de Bessel de ordem $ \frac{1}{3} $, podemos escrever a solução geral dessa equação usando as Funções de Bessel de Primeira e Segunda Kind, denotadas por $ J_{\nu}(x) $ e $ Y_{\nu}(x) $ respectivamente.
As soluções gerais da Equação de Bessel são:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno, se fornecidas.
Passo 4
Aplicando isso à nossa equação específica com $ \nu = \frac{1}{3} $, a solução geral fica:
Aqui, $ J_{\frac{1}{3}}(x) $ é a Função de Bessel de Primeira Kind de ordem $ \frac{1}{3} $, e $ Y_{\frac{1}{3}}(x) $ é a Função de Bessel de Segunda Kind de mesma ordem.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.