Encontre uma solução geral da EDO
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-19) y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) juntos! A equação que temos é:
x^2 y'' + x y' + (x^2 - 19) y = 0
Nesse exercício, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais de Segunda Ordem e Funções de Bessel. Precisamos identificar o tipo de equação que estamos lidando e aplicar a teoria adequada para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial temos aqui. A equação dada é de segunda ordem e possui coeficientes variáveis, já que os termos multiplicam potências de $ x $. Esse tipo de equação muitas vezes pode ser relacionado com a Equação de Bessel, que tem a forma:
x
Comparando com a nossa equação, vemos que:
  • O coeficiente de $ y’’ $ é $ x^{2} $
  • O coeficiente de $ y’ $ é $ x $
  • O termo independente de $ y $ é $ x^{2} - \frac{1}{9} $
Percebe-se que isso se assemelha muito à Equação de Bessel, onde $ \nu $ é uma constante que define a ordem da equação. No nosso caso, comparando os termos independentes, temos:
x^2 y'' + x y' + (x^2 - nu^2) y = 0

Passo 3

Sabendo que nossa equação é uma Equação de Bessel de ordem $ \frac{1}{3} $, podemos escrever a solução geral dessa equação usando as Funções de Bessel de Primeira e Segunda Kind, denotadas por $ J_{\nu}(x) $ e $ Y_{\nu}(x) $ respectivamente.
As soluções gerais da Equação de Bessel são:
13
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais ou de contorno, se fornecidas.

Passo 4

Aplicando isso à nossa equação específica com $ \nu = \frac{1}{3} $, a solução geral fica:
nu = 13
Aqui, $ J_{\frac{1}{3}}(x) $ é a Função de Bessel de Primeira Kind de ordem $ \frac{1}{3} $, e $ Y_{\frac{1}{3}}(x) $ é a Função de Bessel de Segunda Kind de mesma ordem.

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = C1 J13(x) + C2 Y13(x)
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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