Resolva o seguinte sistema de equações.
ld xd t+d yd t+y=t d^2 xd t^2+d^2 yd t^2+d yd t+x+y=t^2

Passo 1

O enunciado dá um sistema de equações diferenciais acopladas de primeira e segunda ordem em x(t) e y(t). O conteúdo é resolução de sistemas lineares de ODEs por mudança de variáveis. Vamos precisar usar derivadas, soma de equações e definições de novas variáveis para desacoplar.

Passo 2

Definimos a nova variável u(t)=x(t)+y(t). Então temos as derivadas
u'(t)=x'(t)+y'(t),
u''(t)=x''(t)+y''(t)
Substituindo na primeira equação x'+y'+y=t obtemos
u'(t)+y(t)=t
e daí isolamos
y(t)=t-u'(t)

Passo 3

Para achar u(t), usamos a segunda equação x''+y''+y'+x+y=t^2. Escrevendo em função de u e y:
u''(t)+y'(t)+u(t)=t^2
Como y(t)=t-u'(t), sua derivada é
y'(t)=1-u''(t)
Substituindo em cima:
u''(t)+(1-u''(t))+u(t)=t^2
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u(t)+1=t^2
e
u(t)=t^2-1

Passo 4

Agora voltamos a y(t)=t-u'(t). Como u'(t)=2t, temos
y(t)=t-2t=-t

Passo 5

Por fim, obtém-se x(t) pela definição de u:
x(t)=u(t)-y(t)=(t^2-1)-(-t)=t^2+t-1

Resposta

x(t)=t^2+t-1, \quad y(t)=-t

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