Resolva o seguinte sistema de equações.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de equações diferenciais acopladas de primeira e segunda ordem em x(t) e y(t). O conteúdo é resolução de sistemas lineares de ODEs por mudança de variáveis. Vamos precisar usar derivadas, soma de equações e definições de novas variáveis para desacoplar.
Passo 2
Definimos a nova variável
. Então temos as derivadas
Substituindo na primeira equação
obtemos
e daí isolamos
Passo 3
Para achar
, usamos a segunda equação
. Escrevendo em função de
e
:
Como
, sua derivada é
Substituindo em cima:
logo
e
Passo 4
Agora voltamos a
. Como
, temos
Passo 5
Por fim, obtém-se
pela definição de
:
Resposta
x(t)=t^2+t-1, \quad y(t)=-t