Resolva o seguinte sistema de equações.
ld xd t=y d yd t=-x+2 y

Passo 1

Temos o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
dxdt=y, dydt=-x+2y
O conteúdo aqui é sistemas lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos transformar em uma única equação de segunda ordem para x(t) ou usar autovalores/autovetores.

Passo 2

Diferenciando a primeira equação em relação a t, temos:
d^2xdt^2=ddt(y)
Mas da segunda equação dy/dt=-x+2y, então
d^2xdt^2=-x+2y
E como y=dx/dt, substituímos:
d^2xdt^2=-x+2dxdt
Reescrevendo, obtemos a equação de segunda ordem:
d^2xdt^2-2dxdt+x=0

Passo 3

A equação característica correspondente é
r^2-2r+1=0,
o que dá a raiz dupla
r=1(mu
Para raiz dupla, a solução geral de x(t) é
x(t)=(C1+C2t)e^t,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 4

Agora encontramos y(t) usando y=dx/dt. Derivando x(t)=(C1+C2t)e^t pelo produto,
dxdt=C2e^t+(C1+C2t)e^t=(C1+C2+C2t)e^t
Logo,
y(t)=(C1+C2+C2t)e^t

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t)=(C1+C2t)e^t, y(t)=(C1+C2+C2t)e^t,
com C1, C2 constantes arbitrárias.

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