Resolva o seguinte sistema de equações.
Passo 1
Temos o sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
O conteúdo aqui é sistemas lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos transformar em uma única equação de segunda ordem para
ou usar autovalores/autovetores.
Passo 2
Diferenciando a primeira equação em relação a
, temos:
Mas da segunda equação
, então
E como
, substituímos:
Reescrevendo, obtemos a equação de segunda ordem:
Passo 3
A equação característica correspondente é
o que dá a raiz dupla
Para raiz dupla, a solução geral de
é
onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Agora encontramos
usando
. Derivando
pelo produto,
Logo,
Resposta
A solução geral do sistema é
com
constantes arbitrárias.