Encontre a solução geral das edos( 1,0 ponto cada item!!):
pelo método dos coeficientes a determinar
y^prime prime-3 y^prime+2 y=3^x+2 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 3^x + 2e^2x
Para resolver, usaremos o método dos coeficientes a determinar: primeiro encontramos a solução da homogênea, depois propomos um ansatz para a parte particular compatível com cada termo não-homogêneo e, por fim, somamos as soluções.

Passo 2

A equação característica da homogênea
y'' - 3y' + 2y = 0
é
r^2 - 3r + 2 = 0,
cuja raiz dupla é
r1 = 1, r2 = 2
Logo, a solução geral da homogênea é
yh = C1 e^x + C2 e^2x,
com C1,C2 constantes.

Passo 3

O segundo membro é 3^x + 2e^2x. Para 3^x, como 3 não é raiz da característica, tomamos
yp1 = A,3^x
Para e^2x, como r=2 é raiz da característica (resonância), multiplicamos por x:
yp2 = B,x e^2x
Assim
yp = A,3^x + B,x e^2x

Passo 4

Substituindo yp1=A,3^x na EDO, calculamos
yp1' = A,3^xln3, yp1'' = A,3^x(ln3)^2,
logo
yp1'' -3yp1' +2yp1 = A,3^xl((ln3)^2 -3ln3 +2r) equiv 3^x
Isto dá
A = 1(ln3)^2 - 3ln3 + 2

Passo 5

Para yp2=B x e^2x, calculamos
yp2' = B e^2x(1+2x), yp2'' = B e^2x(4+4x)
Logo
yp2'' -3yp2'+2yp2 = B e^2x[4+4x -3(1+2x) +2x] = B e^2x
Igualando a 2e^2x obtemos
B = 2

Passo 6

Somando homogênea e particular, a solução geral é
y = C1 e^x + C2 e^2x + 3^x(ln3)^2 - 3ln3 + 2 + 2x e^2x

Resposta

y = C1 e^x + C2 e^2x + 3^x(ln3)^2 - 3ln3 + 2 + 2x e^2x

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