Encontre a solução geral das edos( 1,0 ponto cada item!!):
y^prime prime+2 y=sec (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 2y = sec(x)
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos achar primeiro a solução homogênea e depois uma particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 + 2 = 0 implies r = pm iraiz2
Logo, uma base de soluções é
y1(x) = cos(raiz2 x), y2(x) = sin(raiz2 x),
e a solução geral homogênea é
yh(x) = C1cos(raiz2 x) + C2sin(raiz2 x)

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W(x) = cos(raiz2 x) & sin(raiz2 x) -raiz2sin(raiz2 x) & raiz2cos(raiz2 x) = raiz2l(cos^2(raiz2 x)+sin^2(raiz2 x)r)=raiz2

Passo 4

A fórmula de variação de parâmetros indica
u1'(x) = -y2(x),f(x)W(x) = -1raiz2sin(raiz2 x),sec(x),
u2'(x) = y1(x),f(x)W(x) = 1raiz2cos(raiz2 x),sec(x),
onde f(x)=sec(x).
Logo,
u1(x) = -1raiz2integralsin(raiz2 x)sec(x),dx, u2(x) = 1raiz2integralcos(raiz2 x)sec(x),dx

Passo 5

A solução particular é
yp(x) = u1(x)cos(raiz2 x) + u2(x)sin(raiz2 x)
Podemos reescrever esse resultado em forma de integral de convolução usando a função de Green associada:
yp(x) = 1raiz2integral0^x sinl(raiz2(x - t)r),sec(t),dt

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1cos(raiz2 x) + C2sin(raiz2 x) + 1raiz2integral0^x sin!l(raiz2(x - t)r),sec(t),dt

Exercícios relacionados