Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos exercícios 31-40.
r(x, y)=ln (x+y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
r(x,y)=ln(x+y)
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Como
r(x,y)=ln(x+y),
temos
rx(x,y)=partialpartial xln(x+y) =1x+ycdotpartialpartial x(x+y) =1x+y,
e de modo análogo
ry(x,y)=partialpartial yln(x+y) =1x+y

Passo 3

Agora derivamos novamente em relação a x e y a partir de rx. Como
rx(x,y)=1x+y,
temos
rxx(x,y) =partialpartial xl(1x+yr) =-1(x+y)^2,
rxy(x,y) =partialpartial yl(1x+yr) =-1(x+y)^2

Passo 4

De forma análoga, a partir de ry(x,y)=1/(x+y) obtemos
ryx(x,y) =partialpartial xl(1x+yr) =-1(x+y)^2,
ryy(x,y) =partialpartial yl(1x+yr) =-1(x+y)^2

Resposta

rxx(x,y)=-1(x+y)^2, rxy(x,y)=-1(x+y)^2
ryx(x,y)=-1(x+y)^2, ryy(x,y)=-1(x+y)^2

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