Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
(y^{\prime \prime \prime}-8 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial sujeita às condições iniciais dadas. As informações fornecidas são:
y^{\prime\prime\prime}-8y=0,
com condições iniciais
y(0)=0,\qquad y^\prime(0)=0,\qquad y^{\prime\prime}(0)=0.
Lista das informações importantes:
  • A equação é homogênea e de ordem 3.
  • As condições iniciais especificam y, y^\prime e y^{\prime\prime} em x=0.
  • Precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e as três condições.

Passo 2

Método escolhido: testar uma solução do tipo exponencial y=e^{rx}. Por que isso funciona? Para equações lineares com coeficientes constantes (como a dada), a substituição y=e^{rx} transforma a equação diferencial em um polinômio em r (o chamado polinômio característico). Nesse polinômio, as raízes r indicam os termos exponenciais que compõem a solução geral. Vou usar essa ideia: assumir y=e^{rx}, substituir na equação e obter o polinômio característico para determinar os possíveis r.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} na equação \,y^{\prime\prime\prime}-8y=0, temos:
y^{\prime\prime\prime}=r^3 e^{rx},
então a equação vira
r^3 e^{rx}-8 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter o polinômio característico
r^3-8=0.
Reconhecemos 8=2^3, então usamos a fatoração de diferença de cubos a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) com a=r e b=2:
r^3-2^3=(r-2)(r^2+2r+4)=0.
Assim as raízes são:
r_1=2
e as raízes da quadrática
r^2+2r+4=0.
Calculando o discriminante dessa quadrática:
\Delta = 2^2-4\cdot1\cdot4=4-16=-12<0,
logo as raízes são complexas conjugadas. Podemos escrevê-las em forma padrão:
r_{2,3}=-1\pm i\sqrt{3},
pois a soma das raízes é -2 e o produto é 4, compatível com esses valores.

Passo 4

Regra que usamos aqui: se uma equação linear com coeficientes reais tem uma raiz real r_1 e um par de raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a solução geral real é
y(x)=C_1 e^{r_1 x} + e^{\alpha x}\big(C_2\cos(\beta x)+C_3\sin(\beta x)\big),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes reais arbitrárias. Aplicando ao nosso caso ( r_1=2, \alpha=-1, \beta=\sqrt{3}), obtemos a solução geral:
y(x)=C_1 e^{2x} + e^{-x}\big(C_2\cos(\sqrt{3}\,x)+C_3\sin(\sqrt{3}\,x)\big).
Explicando as constantes: C_1,C_2,C_3 serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora precisamos das derivadas y^\prime e y^{\prime\prime} para aplicar as condições iniciais. Para facilitar, defino
A(x)=C_2\cos(\sqrt{3}\,x)+C_3\sin(\sqrt{3}\,x),
então y(x)=C_1 e^{2x}+e^{-x}A(x).
Calcule A^\prime(x):
A^\prime(x) = -C_2\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}\,x)+C_3\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}\,x)=\sqrt{3}\big(-C_2\sin(\sqrt{3}\,x)+C_3\cos(\sqrt{3}\,x)\big).
Usando a regra do produto para y_2(x)=e^{-x}A(x), temos
y_2^\prime(x) = e^{-x}\big(A^\prime(x)-A(x)\big).
Portanto a derivada total é
y^\prime(x)=2C_1 e^{2x} + e^{-x}\big(A^\prime(x)-A(x)\big).
Avalio em x=0. Note que \cos(0)=1 e \sin(0)=0, então
A(0)=C_2,\qquad A^\prime(0)=\sqrt{3}\,C_3.
Logo
y(0)=C_1 + C_2,
y^\prime(0)=2C_1 + \big(\sqrt{3}\,C_3 - C_2\big).
Aplicando as condições y(0)=0 e y^\prime(0)=0, obtemos o sistema (parcial):
\begin{cases} C_1 + C_2 = 0,\\[4pt] 2C_1 - C_2 + \sqrt{3}\,C_3 = 0. \end{cases}]

Passo 6

Agora calculamos y^{\prime\prime}(0). Primeiro achamos A^{\prime\prime}(x). Derivando A^\prime(x) obtemos
A^{\prime\prime}(x) = -3\big(C_2\cos(\sqrt{3}\,x)+C_3\sin(\sqrt{3}\,x)\big) = -3A(x).
Para y_2(x)=e^{-x}A(x) já vimos que y_2^\prime(x)=e^{-x}(A^\prime-A). Derivando novamente, usando produto e simplificando:
y_2^{\prime\prime}(x)=e^{-x}\big(A^{\prime\prime}(x)-2A^\prime(x)+A(x)\big).
Substituindo A^{\prime\prime}=-3A obtemos
y_2^{\prime\prime}(x)=e^{-x}\big(-3A-2A^\prime + A\big)=e^{-x}\big(-2A-2A^\prime\big)=-2e^{-x}\big(A+A^\prime\big).
Assim a derivada segunda total é
y^{\prime\prime}(x)=4C_1 e^{2x} -2e^{-x}\big(A(x)+A^\prime(x)\big).
Avalio em x=0 (usando A(0)=C_2, A^\prime(0)=\sqrt{3}C_3):
y^{\prime\prime}(0)=4C_1 -2\big(C_2+\sqrt{3}\,C_3\big).
A condição y^{\prime\prime}(0)=0 dá a terceira equação:
4C_1 -2C_2 -2\sqrt{3}\,C_3 =0.

Passo 7

Agora resolvemos o sistema linear obtido a partir das três condições iniciais:
\begin{cases} C_1 + C_2 = 0,\\[4pt] 2C_1 - C_2 + \sqrt{3}\,C_3 = 0,\\[4pt] 4C_1 -2C_2 -2\sqrt{3}\,C_3 = 0. \end{cases}
Da primeira equação temos C_2=-C_1. Substituindo na segunda:
2C_1 -(-C_1) + \sqrt{3}\,C_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3C_1 + \sqrt{3}\,C_3 = 0,
que dá
C_3 = -\frac{3}{\sqrt{3}}C_1 = -\sqrt{3}\,C_1.
Substituindo C_2=-C_1 e C_3=-\sqrt{3}\,C_1 na terceira equação:
4C_1 -2(-C_1) -2\sqrt{3}\,(-\sqrt{3}\,C_1)=0.
Calculando termo a termo:
4C_1 +2C_1 -2\sqrt{3}\,(-\sqrt{3}\,C_1)=6C_1 -2\sqrt{3}\,(-\sqrt{3})C_1.
Como -2\sqrt{3}\,(-\sqrt{3})= -2\cdot(-3)=6, o último termo vale +6C_1. Logo a soma é
6C_1 + 6C_1 = 12C_1 = 0,
o que implica C_1=0. Então C_2=-C_1=0 e C_3=-\sqrt{3}\,C_1=0.]

Passo 8

Concluímos que as constantes C_1,C_2,C_3 são todas zero. Portanto a solução que satisfaz a equação e as condições iniciais é a solução trivial
y(x)\equiv 0.
Observação didática rápida: para equações lineares homogêneas, condições iniciais todas zero frequentemente levam à solução trivial; aqui isso aconteceu porque a solução geral é combinação linear das funções base e as condições forçaram todos os coeficientes a zero.

Resposta

y(x)=0

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