As condições iniciais especificam y, y^\prime e y^{\prime\prime} em x=0.
Precisamos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e as três condições.
Passo 2
Método escolhido: testar uma solução do tipo exponencial y=e^{rx}. Por que isso funciona? Para equações lineares com coeficientes constantes (como a dada), a substituição y=e^{rx} transforma a equação diferencial em um polinômio em r (o chamado polinômio característico). Nesse polinômio, as raízes r indicam os termos exponenciais que compõem a solução geral. Vou usar essa ideia: assumir y=e^{rx}, substituir na equação e obter o polinômio característico para determinar os possíveis r.
Passo 3
Substituindo y=e^{rx} na equação \,y^{\prime\prime\prime}-8y=0, temos:
y^{\prime\prime\prime}=r^3 e^{rx},
então a equação vira
r^3 e^{rx}-8 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter o polinômio característico
r^3-8=0.
Reconhecemos 8=2^3, então usamos a fatoração de diferença de cubos a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) com a=r e b=2:
r^3-2^3=(r-2)(r^2+2r+4)=0.
Assim as raízes são:
r_1=2
e as raízes da quadrática
r^2+2r+4=0.
Calculando o discriminante dessa quadrática:
\Delta = 2^2-4\cdot1\cdot4=4-16=-12<0,
logo as raízes são complexas conjugadas. Podemos escrevê-las em forma padrão:
r_{2,3}=-1\pm i\sqrt{3},
pois a soma das raízes é -2 e o produto é 4, compatível com esses valores.
Passo 4
Regra que usamos aqui: se uma equação linear com coeficientes reais tem uma raiz real r_1 e um par de raízes complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a solução geral real é
Como -2\sqrt{3}\,(-\sqrt{3})= -2\cdot(-3)=6, o último termo vale +6C_1. Logo a soma é
6C_1 + 6C_1 = 12C_1 = 0,
o que implica C_1=0. Então C_2=-C_1=0 e C_3=-\sqrt{3}\,C_1=0.]
Passo 8
Concluímos que as constantes C_1,C_2,C_3 são todas zero. Portanto a solução que satisfaz a equação e as condições iniciais é a solução trivial
y(x)\equiv 0.
Observação didática rápida: para equações lineares homogêneas, condições iniciais todas zero frequentemente levam à solução trivial; aqui isso aconteceu porque a solução geral é combinação linear das funções base e as condições forçaram todos os coeficientes a zero.