Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
11. (y^{\prime \prime}+y^{\prime}+4 y=2 \operatorname{senh} t \quad) Sugestão: (\operatorname{senh} t=\left(e{t}-e{-t}\right) / 2)
11. (y^{\prime \prime}+y^{\prime}+4 y=2 \operatorname{senh} t \quad) Sugestão: (\operatorname{senh} t=\left(e{t}-e{-t}\right) / 2)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Foi fornecida a identidade
. Informações relevantes que temos:
Portanto o termo não-homogêneo é a soma de duas exponenciais
e
. A tarefa é encontrar a solução geral da equação linear de segunda ordem: a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada:
Formamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo a quadrática:
Temos raízes complexas conjugadas
com
Para raízes dessa forma, a solução geral da homogênea é
Substituindo
obtemos
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a parte não-homogênea. Como demonstrado no Passo 1,
Pela forma do membro direito (soma de exponenciais), aplicamos o método dos coeficientes indeterminados e procuramos
onde
são constantes a determinar. Antes de aplicar, verificamos se alguma das exponenciais
ou
é solução da homogênea (ressonância). As raízes da característica têm parte real
, portanto
e
não são raízes, logo não há ressonância e a forma escolhida é adequada.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
:
Agrupando termos em
e
:
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema
Daqui:
Passo 5
Portanto a solução particular é
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
Substituindo
e
: