Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
11. (y^{\prime \prime}+y^{\prime}+4 y=2 \operatorname{senh} t \quad) Sugestão: (\operatorname{senh} t=\left(e{t}-e{-t}\right) / 2)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''+y'+4y=2\operatorname{senh}t
e pede a solução geral y(t). Foi fornecida a identidade \operatorname{senh}t=(e^{t}-e^{-t})/2. Informações relevantes que temos:
2\operatorname{senh}t = e^{t}-e^{-t}.
Portanto o termo não-homogêneo é a soma de duas exponenciais e^{t} e -e^{-t}. A tarefa é encontrar a solução geral da equação linear de segunda ordem: a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada:
y''+y'+4y=0.
Formamos a equação característica substituindo y\sim e^{rt}:
r^{2}+r+4=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-16}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{15}}{2}.
Temos raízes complexas conjugadas \displaystyle r=\alpha\pm i\beta com
\alpha=-\tfrac{1}{2},\qquad \beta=\tfrac{\sqrt{15}}{2}.
Para raízes dessa forma, a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=e^{\alpha t}\Big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\Big).
Substituindo \alpha,\beta obtemos
y_{h}(t)=e^{-t/2}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)\Big).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} para a parte não-homogênea. Como demonstrado no Passo 1,
2\operatorname{senh}t=e^{t}-e^{-t}.
Pela forma do membro direito (soma de exponenciais), aplicamos o método dos coeficientes indeterminados e procuramos
y_{p}(t)=A e^{t}+B e^{-t},
onde A,B são constantes a determinar. Antes de aplicar, verificamos se alguma das exponenciais e^{t} ou e^{-t} é solução da homogênea (ressonância). As raízes da característica têm parte real -\tfrac{1}{2}, portanto r=1 e r=-1 não são raízes, logo não há ressonância e a forma escolhida é adequada.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(t)=A e^{t}-B e^{-t}, \quad y_{p}''(t)=A e^{t}+B e^{-t}.
Substituindo em y''+y'+4y:
y_{p}''+y_{p}'+4y_{p}=(A e^{t}+B e^{-t})+(A e^{t}-B e^{-t})+4(A e^{t}+B e^{-t}).
Agrupando termos em e^{t} e e^{-t}:
y_{p}''+y_{p}'+4y_{p}=(A+A+4A)e^{t}+(B-B+4B)e^{-t}=6A e^{t}+4B e^{-t}.
Queremos que isso seja igual a e^{t}-e^{-t}. Igualando coeficientes de e^{t} e e^{-t} obtemos o sistema
6A=1,\qquad 4B=-1.
Daqui:
A=\tfrac{1}{6},\qquad B=-\tfrac{1}{4}.

Passo 5

Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=\tfrac{1}{6}e^{t}-\tfrac{1}{4}e^{-t}.
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t).
Substituindo y_{h} e y_{p}:
y(t)=e^{-t/2}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)\Big)+\tfrac{1}{6}e^{t}-\tfrac{1}{4}e^{-t}.

Resposta

y(t)=e^{-t/2}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)\Big)+\tfrac{1}{6}e^{t}-\tfrac{1}{4}e^{-t}

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