Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
13. (y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1)

Passo 1

O problema pede a solução da equação diferencial de segunda ordem não-homogênea com condições iniciais:
y''+y'-2y=2t,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Informações dadas:
\text{equação: }y''+y'-2y=2t,çã
\text{condições iniciais: }y(0)=0\text{ e }y'(0)=1.çõ
O que se busca: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada:
y''+y'-2y=0.
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rt}:
r^2+r-2=0.
Esta é uma equação quadrática; calcule as raízes usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = 1^2-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9.
As raízes são
r=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-1\pm3}{2},
logo r_1=1 e r_2=-2. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) da equação não-homogênea. O termo fonte é um polinômio de grau 1, 2t. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau:
y_p(t)=A t + B,
onde A e B são constantes a determinar. Observação didática: só usamos essa forma porque nenhum termo da forma t ou constante está em conflito com as soluções exponenciais e^{t} e e^{-2t}; se houvesse conflito (por exemplo se r=0 fosse raiz da característica), multiplicaríamos por potências de t.

Passo 4

Calcule as derivadas de y_p:
y_p'(t)=A,\qquad y_p''(t)=0.
Substitua y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial:
0 + A - 2(At+B) = 2t.
Simplifique:
A - 2At - 2B = 2t.
Agora iguale coeficientes de termos em t e termos constantes em ambos os lados.
Coeficiente de t:
-2A = 2 \quad\Rightarrow\quad A=-1.
Termos constantes:
A - 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad -1 - 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
y_p(t) = -t - \tfrac{1}{2}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(t)=C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t} - t - \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Use as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeira condição y(0)=0:
y(0)=C_1 + C_2 - 0 - \tfrac{1}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = \tfrac{1}{2}.
Calcule y'(t) para aplicar a segunda condição. Derivando y(t):
y'(t)=C_1 e^{t} -2C_2 e^{-2t} - 1.
Segunda condição y'(0)=1:
y'(0)=C_1 -2C_2 -1 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 - 2C_2 = 2.
Agora resolva o sistema linear
\begin{cases} C_1 + C_2 = \tfrac{1}{2},\\[4pt] C_1 - 2C_2 = 2. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_1 - 2C_2) - (C_1 + C_2) = 2 - \tfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad -3C_2 = \tfrac{3}{2},
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C_2 = -\tfrac{1}{2}.
Então
C_1 = \tfrac{1}{2} - C_2 = \tfrac{1}{2} - \big(-\tfrac{1}{2}\big) = 1.]

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(t)=e^{t}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}-t-\tfrac{1}{2}.
Verificação rápida (útil na prova): em t=0 y(0)=1-\tfrac{1}{2}-0-\tfrac{1}{2}=0 e derivando y' e avaliando em 0 obtém-se 1, portanto as condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

y(t)=e^{t}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}-t-\tfrac{1}{2}

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