Em cada um dos Problemas de 13 a 18, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
13. (y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1)
13. (y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 t, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1)
Passo 1
O problema pede a solução da equação diferencial de segunda ordem não-homogênea com condições iniciais:
Informações dadas:
O que se busca: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica substituindo
:
Esta é uma equação quadrática; calcule as raízes usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
As raízes são
logo
e
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não-homogênea. O termo fonte é um polinômio de grau 1,
. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau:
onde
e
são constantes a determinar. Observação didática: só usamos essa forma porque nenhum termo da forma
ou constante está em conflito com as soluções exponenciais
e
; se houvesse conflito (por exemplo se
fosse raiz da característica), multiplicaríamos por potências de
.
Passo 4
Calcule as derivadas de
:
Substitua
,
e
na equação diferencial:
Simplifique:
Agora iguale coeficientes de termos em
e termos constantes em ambos os lados.
Coeficiente de
:
Termos constantes:
Portanto
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 6
Use as condições iniciais para determinar
e
.
Primeira condição
:
Calcule
para aplicar a segunda condição. Derivando
:
Segunda condição
:
Agora resolva o sistema linear
Subtraindo a primeira equação da segunda:
logo
Então
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
Verificação rápida (útil na prova): em
dá
e derivando
e avaliando em
obtém-se
, portanto as condições iniciais são satisfeitas.