Determine uma forma adequada para (Y(t)) para se usar o método dos coeficientes indeterminados.
(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=2 t^{2}+4 t e^{2 t}+t \operatorname{sen} 2 t)

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y''-4y'+4y = 2t^{2} + 4t e^{2t} + t\sin 2t
e pede: determinar uma forma adequada para \,Y(t)\, (a solução particular) para aplicar o método dos coeficientes indeterminados. Informações dadas e o que precisamos considerar:
  • A equação é linear com coeficientes constantes.
  • O lado direito é soma de três termos: um polinômio 2t^{2}, um termo exponencial multiplicado por polinômio 4t e^{2t} e um termo trigonométrico multiplicado por polinômio t\sin 2t.
  • Precisamos propor uma ansatz (forma) para \,Y(t)\, que contenha coeficientes indeterminados suficientes para cada termo do lado direito, levando em conta possíveis ressonâncias com a solução da homogênea.

Passo 2

Princípio do método dos coeficientes indeterminados (mini-aula):
  • Quando o termo do segundo membro é um polinômio em t de grau m, tenta-se uma solução particular que seja um polinômio de grau m: \,Q_m(t)=a_m t^m+\cdots+a_0.
  • Quando o termo é P_m(t)e^{\alpha t} (polinômio vezes exponencial), tenta-se t^{s}Q_m(t)e^{\alpha t}, onde s é um inteiro não negativo que corrige ressonância (ver abaixo) e Q_m tem grau m.
  • Quando o termo é P_m(t)\cos(\beta t) ou P_m(t)\sin(\beta t), tenta-se t^{s}\big(R_m(t)\cos(\beta t)+S_m(t)\sin(\beta t)\big), com R_m,S_m polinômios de grau m.
  • Regra de ressonância: se \alpha (ou \alpha\pm i\beta no caso trigonométrico) é raiz do polinômio característico da homogênea de multiplicidade s, então multiplica-se a ansatz por t^{s}. Se não for raiz, s=0.
Expliquei o que significam m,\alpha,\beta,s,Q_m,R_m,S_m: m é grau do polinômio que multiplica a função base; \alpha é a constante do exponencial; \beta é a frequência da seno/cosseno; s é a ordem de multiplicidade da raiz que causa ressonância; Q_m,R_m,S_m são polinômios com coeficientes indeterminados.

Passo 3

Encontrar a solução homogênea (para ver ressonâncias):
  • Polinômio característico: \,r^{2}-4r+4=0\,.
  • Fatorando: \,(r-2)^{2}=0. Logo há raiz \,r=2\, de multiplicidade 2.
  • A solução homogênea é \,y_h(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{2t}.
Conclusão útil: qualquer termo da forma P(t)e^{2t} no segundo membro tem ressonância com a homogênea com multiplicidade s=2, portanto a ansatz para tal termo deve ser multiplicada por t^{2}.

Passo 4

Tratar o termo polinomial 2t^{2}:
  • É um polinômio de grau m=2.
  • A exponencial associada aqui é \alpha=0. Verificamos se \alpha=0 é raiz do característico: \,r=0 não é raiz de (r-2)^{2}. Então não há ressonância ( s=0).
  • Logo a forma particular para esse termo é um polinômio geral de grau 2:
Y_{1}(t)=A t^{2}+B t + C,
onde A,B,C são coeficientes indeterminados.

Passo 5

Tratar o termo exponencial 4t e^{2t}:
  • Aqui P_m(t)=4t tem grau m=1 e \alpha=2.
  • Como vimos no Passo 3, \alpha=2 é raiz do característico de multiplicidade 2. Portanto há ressonância com s=2.
  • A forma base sem ressonância seria Q_{1}(t)e^{2t} com Q_{1}(t)=D t + E. Com a correção de ressonância multiplicamos por t^{2}:
Y_{2}(t)=t^{2}(D t + E)e^{2t}.
Para clareza, isso é equivalente a escrever Y_{2}(t)=e^{2t}(D t^{3}+E t^{2}). (Usamos duas incógnitas D,E porque P_m tem grau 1.)

Passo 6

Tratar o termo trigonométrico t\sin 2t:
  • Aqui P_m(t)=t tem grau m=1 e a frequência é \beta=2 (sem fator exponencial, isto é \alpha=0).
  • Verificamos se r=\pm i\beta=\pm 2i são raízes do característico (r-2)^{2}. Não são (pois as raízes da homogênea são 2 e 2), então não há ressonância ( s=0).
  • A forma padrão para polinômio de grau 1 multiplicando seno/cosseno é:
Y_{3}(t)=(F t + G)\cos 2t + (H t + I)\sin 2t,
com quatro coeficientes indeterminados F,G,H,I.

Passo 7

Juntar as três partes para obter a forma completa da solução particular:
  • Somando Y_{1}+Y_{2}+Y_{3} obtemos a ansatz final com todos os coeficientes indeterminados necessários.

Resposta

Y(t)=A t^{2}+B t + C \;+\; t^{2}(D t + E)e^{2t} \;+\; (F t + G)\cos 2t + (H t + I)\sin 2t

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