Determine uma forma adequada para (Y(t)) para se usar o método dos coeficientes indeterminados.
(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=2 t^{2}+4 t e^{2 t}+t \operatorname{sen} 2 t)
(y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=2 t^{2}+4 t e^{2 t}+t \operatorname{sen} 2 t)
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede: determinar uma forma adequada para
(a solução particular) para aplicar o método dos coeficientes indeterminados. Informações dadas e o que precisamos considerar:
- A equação é linear com coeficientes constantes.
- O lado direito é soma de três termos: um polinômio
, um termo exponencial multiplicado por polinômio e um termo trigonométrico multiplicado por polinômio . - Precisamos propor uma ansatz (forma) para
que contenha coeficientes indeterminados suficientes para cada termo do lado direito, levando em conta possíveis ressonâncias com a solução da homogênea.
Passo 2
Princípio do método dos coeficientes indeterminados (mini-aula):
- Quando o termo do segundo membro é um polinômio em
de grau , tenta-se uma solução particular que seja um polinômio de grau : . - Quando o termo é
(polinômio vezes exponencial), tenta-se , onde é um inteiro não negativo que corrige ressonância (ver abaixo) e tem grau . - Quando o termo é
ou , tenta-se , com polinômios de grau . - Regra de ressonância: se
(ou no caso trigonométrico) é raiz do polinômio característico da homogênea de multiplicidade , então multiplica-se a ansatz por . Se não for raiz, .
Expliquei o que significam
:
é grau do polinômio que multiplica a função base;
é a constante do exponencial;
é a frequência da seno/cosseno;
é a ordem de multiplicidade da raiz que causa ressonância;
são polinômios com coeficientes indeterminados.
Passo 3
Encontrar a solução homogênea (para ver ressonâncias):
- Polinômio característico:
. - Fatorando:
. Logo há raiz de multiplicidade . - A solução homogênea é
.
Conclusão útil: qualquer termo da forma
no segundo membro tem ressonância com a homogênea com multiplicidade
, portanto a ansatz para tal termo deve ser multiplicada por
.
Passo 4
Tratar o termo polinomial
:
- É um polinômio de grau
. - A exponencial associada aqui é
. Verificamos se é raiz do característico: não é raiz de . Então não há ressonância ( ). - Logo a forma particular para esse termo é um polinômio geral de grau 2:
onde
são coeficientes indeterminados.
Passo 5
Tratar o termo exponencial
:
- Aqui
tem grau e . - Como vimos no Passo 3,
é raiz do característico de multiplicidade . Portanto há ressonância com . - A forma base sem ressonância seria
com . Com a correção de ressonância multiplicamos por :
Para clareza, isso é equivalente a escrever
. (Usamos duas incógnitas
porque
tem grau 1.)
Passo 6
Tratar o termo trigonométrico
:
- Aqui
tem grau e a frequência é (sem fator exponencial, isto é ). - Verificamos se
são raízes do característico . Não são (pois as raízes da homogênea são e ), então não há ressonância ( ). - A forma padrão para polinômio de grau 1 multiplicando seno/cosseno é:
com quatro coeficientes indeterminados
.
Passo 7
Juntar as três partes para obter a forma completa da solução particular:
- Somando
obtemos a ansatz final com todos os coeficientes indeterminados necessários.