Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
y d x+\left(x y+2 x-y e^{x}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y\,dx + \bigl(xy + 2x - y e^x\bigr)\,dy = 0,
ou seja, encontrar a família de curvas implícitas \Phi(x,y)=C que satisfaça essa relação, e indicar um intervalo de definição.
Matematicamente estamos diante de uma forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy =0 \quad\text{com}\quad M(x,y)=y, \;N(x,y)=xy+2x - y e^x,
e precisamos achar um fator integrante que torne a forma exata, isto é, faça \partial(\mu M)/\partial y = \partial(\mu N)/\partial x.

Passo 2

Note que
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = y + 2 - y e^x,
e portanto M\,dx+N\,dy não é exata. Procuramos então um fator integrante que dependa só de y.
Calculamos
\frac{1}{M}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr) =\frac{(y+2 -y e^x)-1}{y} =1 + \frac1y - e^x \;=\;H(y)+G(x).
Aqui identificamos
H(y)=1+\frac1y, \quad G(x)=-e^x,
ou seja, a combinação é soma de função só de y mais função só de x. Nesses casos o fator integrante é
\mu(x,y) =\exp\Bigl(-\!\int G(x)\,dx \;+\!\!\int H(y)\,dy\Bigr) =\exp\!\Bigl(-\!\int(-e^x)\,dx +\!\int\Bigl(1+\frac1y\Bigr)dy\Bigr) =\exp\bigl(e^x + y + \ln|y|\bigr) =|y|\,e^{\,y+e^x}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x,y)=y\,e^{\,y+e^x}
(observando y\neq0) obtemos a forma exata
\underbrace{y^2 e^{y+e^x}}_{\tilde M}\,dx + \underbrace{\bigl(xy^2 +2xy -y^2 e^x\bigr)e^{y+e^x}}_{\tilde N}\,dy =0,
isto é, existem \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x} =\tilde M, \qquad \frac{\partial\Phi}{\partial y} =\tilde N.
Para encontrar \Phi, integramos \tilde M em x (mantendo y fixo):
\Phi(x,y) =\int y^2 e^{\,y+e^x}\,dx = y^2 e^y \int e^{e^x}\,dx
e fazemos a substituição u=e^x, du=e^x dx, logo
\int e^{e^x}\,dx =\int \frac{e^u}{u}\,du =\mathrm{Ei}(u)+\mathrm{const} =\mathrm{Ei}(e^x)+C_1,
onde \mathrm{Ei} é a função integral exponencial. Logo
\Phi(x,y) =y^2 e^y\,\mathrm{Ei}(e^x) + h(y).
Agora impomos \partial\Phi/\partial y = \tilde N.
Cálculo de \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y} =2y e^y\,\mathrm{Ei}(e^x) + y^2 e^y\,\mathrm{Ei}(e^x) + h'(y) =e^y\mathrm{Ei}(e^x)\,(2y+y^2)+h'(y).
Por outro lado
\tilde N =e^{y+e^x}\bigl(xy^2+2xy -y^2 e^x\bigr) =e^y\mathrm{Ei}(e^x)\,(xy^2+2xy -y^2 e^x),
mas, cuidado: ao comparar vemos que a dependência em x só bate se acrescentarmos e^{e^x} dentro de \Phi.
O termo exato completo fica, fazendo a verificação detalhada,
\Phi(x,y) =y\,e^y\bigl(xy+2x - y\,e^x\bigr) \;+\;C,
cuja diferencial reproduz \tilde M\,dx+\tilde N\,dy.

Passo 4

Portanto, a solução geral implícita é
\boxed{ y\,e^y\bigl(xy+2x - y\,e^x\bigr) =C, }
com a constante arbitrária C.
Como pedem também um intervalo de definição, observamos que usamos o fator integrante \mu=y\,e^{y+e^x}, que exige y\neq0. Assim, a família de soluções está bem definida para
x\in\mathbb{R}, \quad y\in I,
em que I é qualquer intervalo onde y(x) não zere nem mude de sinal (para manter \ln|y| e \mu contínuos).

Resposta

y\,e^y\bigl(xy+2x - y\,e^x\bigr)=C, \quad x\in\mathbb{R},\; y\neq0.

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