Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida. y d x+\left(x y+2 x-y e^{x}\right) d y=0
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y\,dx + \bigl(xy + 2x - y e^x\bigr)\,dy = 0,
ou seja, encontrar a família de curvas implícitas \Phi(x,y)=C que satisfaça essa relação, e indicar um intervalo de definição.
Matematicamente estamos diante de uma forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy =0 \quad\text{com}\quad M(x,y)=y, \;N(x,y)=xy+2x - y e^x,
e precisamos achar um fator integrante que torne a forma exata, isto é, faça \partial(\mu M)/\partial y = \partial(\mu N)/\partial x.
Passo 2
Note que
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = y + 2 - y e^x,
e portanto M\,dx+N\,dy não é exata. Procuramos então um fator integrante que dependa só de y.
Calculamos
\tilde N =e^{y+e^x}\bigl(xy^2+2xy -y^2 e^x\bigr) =e^y\mathrm{Ei}(e^x)\,(xy^2+2xy -y^2 e^x),
mas, cuidado: ao comparar vemos que a dependência em x só bate se acrescentarmos e^{e^x} dentro de \Phi.
O termo exato completo fica, fazendo a verificação detalhada,
Como pedem também um intervalo de definição, observamos que usamos o fator integrante \mu=y\,e^{y+e^x}, que exige y\neq0. Assim, a família de soluções está bem definida para
x\in\mathbb{R}, \quad y\in I,
em que I é qualquer intervalo onde y(x) não zere nem mude de sinal (para manter \ln|y| e \mu contínuos).