Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y^{\prime}=2 y+x\left(e^{3 x}-e^{x}\right), \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
y' = 2\,y + x\bigl(e^{3x} - e^{x}\bigr)
com a condição inicial y(0)=2. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos em forma padrão
y' - 2\,y = x\bigl(e^{3x} - e^{x}\bigr).

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int -2\,dx} = e^{-2x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\bigl(y\,e^{-2x}\bigr)' = x\bigl(e^{3x}-e^{x}\bigr)\,e^{-2x} = x\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr).

Passo 4

Integramos ambos os lados:
y\,e^{-2x} = \int x\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx + C.
Calculando as integrais por partes:
\int x\,e^{x}\,dx = (x-1)e^{x}, \quad \int x\,e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x},
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\int x\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx = (x-1)e^{x} + (x+1)e^{-x} + C.

Passo 5

Isolando y:
y = e^{2x}\Bigl[(x-1)e^{x} + (x+1)e^{-x} + C\Bigr] = (x-1)e^{3x} + (x+1)e^{x} + C\,e^{2x}.

Passo 6

Usamos y(0)=2:
y(0) = (-1)e^0 + (1)e^0 + C\,e^0 = -1+1+C = C = 2.
Portanto,
y = (x-1)e^{3x} + (x+1)e^{x} + 2\,e^{2x}.

Resposta

y(x) = (x-1)e^{3x} + (x+1)e^{x} + 2\,e^{2x}.

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