Resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada \mu(x, y) seja um fator de integração.
-y^{2} d x+(1+2 x y) d y=0, \quad \mu(x, y)=\frac{1}{x^{2} y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
-y^{2}\,dx + (1 + 2xy)\,dy = 0
e diz que
\mu(x,y) = \frac{1}{x^{2}y}
é um fator de integração. Nosso conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fatores de integração. Para resolver, primeiro verificamos se a equação é exata; se não for, testamos se a multiplicação por \mu a torna exata.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = -y^{2}, \quad N(x,y) = 1 + 2xy.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y.
Como \partial M/\partial y = -2y\neq 2y = \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Multiplicamos a equação por \mu(x,y)=1/(x^{2}y). Obtemos
\widetilde M = \mu\,M = -\frac{y^{2}}{x^{2}y} = -\frac{y}{x^{2}}, \quad \widetilde N = \mu\,N = \frac{1+2xy}{x^{2}y} = \frac{1}{x^{2}y} + \frac{2}{x}.
Agora calculamos
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = -\frac{1}{x^{2}}, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{1}{x^{2}y}+\frac{2}{x}\Bigr) = -\frac{2}{x^{3}y}-\frac{2}{x^{2}}.
Observamos que
-\frac{1}{x^{2}} \;\neq\; -\frac{2}{x^{3}y}-\frac{2}{x^{2}},
logo a equação ainda não é exata após multiplicar por \mu.

Passo 4

Concluímos que o fator de integração indicado \mu(x,y)=1/(x^{2}y)
não torna a equação exata. Portanto, ou o enunciado contém um erro no fator proposto, ou não é possível usá-lo para resolver a equação.

Resposta

O fator de integração indicado \mu(x,y)=1/(x^{2}y) não torna a equação exata, então não é possível resolver a equação com esse \mu.

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