Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
\left(1+e^{x}\right) \frac{d y}{d x}+e^{x} y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem linear
(1+e^{x})\frac{dy}{dx}+e^{x}y=0
e pede a solução geral e um intervalo onde ela seja válida. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividimos ambos os termos por 1+e^{x} para obter a forma
\frac{dy}{dx} + \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,y = 0.

Passo 3

Identificamos o coeficiente de y em
\frac{e^{x}}{1+e^{x}}. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx\Bigr).
Fazendo a substituição u=1+e^{x} temos
\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln\bigl(1+e^{x}\bigr),
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\mu(x) = \exp\bigl(\ln(1+e^{x})\bigr) = 1+e^{x}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=1+e^{x} obtemos
(1+e^{x})\frac{dy}{dx} + e^{x}y = \frac{d}{dx}\bigl((1+e^{x})y\bigr) = 0.
Integrando em x resulta
(1+e^{x})y = C,
onde C é constante arbitrária. Portanto
y(x) = \frac{C}{1+e^{x}}.

Passo 5

Como 1+e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, a solução geral está bem definida em qualquer intervalo de \mathbb{R}, por exemplo em (-\infty,\infty).

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{C}{1+e^{x}},
definida para x\in(-\infty,\infty).

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