Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
\left(1+e^{x}\right) \frac{d y}{d x}+e^{x} y=0
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem linear
e pede a solução geral e um intervalo onde ela seja válida. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão e usar fator integrante.
Passo 2
Dividimos ambos os termos por
para obter a forma
Passo 3
Identificamos o coeficiente de
em
. O fator integrante
é
Fazendo a substituição
temos
logo
Passo 4
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
Integrando em
resulta
onde
é constante arbitrária. Portanto
Passo 5
Como
para todo
, a solução geral está bem definida em qualquer intervalo de
, por exemplo em
.
Resposta
A solução geral é
definida para
.