Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes dadas:
- A equação envolve
, sua derivada e funções de com . - O coeficiente multiplicando
é , que é estritamente positivo para todo (logo nunca é zero).
O objetivo aqui é encontrar a família de soluções gerais dependente de uma constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar a equação em uma forma mais simples dividindo por
(isso é válido porque
para todo
). Fazendo isso obtemos
Agora temos uma equação da forma
com
Não resolvemos ainda; apenas organizamos a equação.
Passo 3
Vou escolher um método simples e direto: tratar como equação separável (ou como caso homogêneo de primeira ordem). A razão: a equação já está na forma
, então podemos separar variáveis
e
. A separação é feita assim:
e portanto
Esta igualdade é válida sempre que
; a solução
também será contemplada depois como caso especial (é a constante zero).
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. À esquerda integramos em
e à direita em
:
Explico o que estou usando:
-
. - Para a integral
fazemos a substituição . Então e
já que
dispensa o valor absoluto aí.
Assim a integral completa dá
Assim a integral completa dá
onde
é uma constante de integração que combina
e
.
Passo 5
Agora isolamos
. Aplicando exponencial em ambos os lados:
Escrevemos
como uma constante positiva
, e removendo o módulo permitimos que a constante assuma sinal arbitrário: isto é, definimos
tal que
. Então a solução geral pode ser escrita compactamente como
onde
é uma constante arbitrária (inclui
, que dá a solução trivial
). Observação: o denominador nunca é zero, então essa expressão é válida para todo
.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule
a partir de
. Usando derivada do quociente ou regra da cadeia,
Substituindo na equação original:
Portanto a família
satisfaz a equação para todo
.