Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
\left(1+e^{x}\right) y^{\prime}+e^{x} y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\left(1+e^{x}\right) y^{\prime}+e^{x} y=0
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes dadas:
  • A equação envolve y, sua derivada y^{\prime} e funções de x com e^{x}.
  • O coeficiente multiplicando y^{\prime} é 1+e^{x}, que é estritamente positivo para todo x (logo nunca é zero).
    O objetivo aqui é encontrar a família de soluções gerais dependente de uma constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar a equação em uma forma mais simples dividindo por 1+e^{x} (isso é válido porque 1+e^{x}>0 para todo x). Fazendo isso obtemos
y^{\prime}+\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,y=0.
Agora temos uma equação da forma y^{\prime}+p(x)y=0 com
p(x)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.
Não resolvemos ainda; apenas organizamos a equação.

Passo 3

Vou escolher um método simples e direto: tratar como equação separável (ou como caso homogêneo de primeira ordem). A razão: a equação já está na forma y^{\prime} = -p(x)\,y, então podemos separar variáveis y e x. A separação é feita assim:
y^{\prime} = \frac{dy}{dx} = -\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,y
e portanto
\frac{1}{y}\,dy = -\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx.
Esta igualdade é válida sempre que y\neq 0; a solução y\equiv 0 também será contemplada depois como caso especial (é a constante zero).

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. À esquerda integramos em y e à direita em x:
\int \frac{1}{y}\,dy = -\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx.
Explico o que estou usando:
  • \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1.
  • Para a integral \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx fazemos a substituição \,u=1+e^{x}. Então \,du=e^{x}\,dx e
\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C_2 = \ln(1+e^{x}) + C_2,
já que 1+e^{x}>0 dispensa o valor absoluto aí.
Assim a integral completa dá
\ln|y| = -\ln(1+e^{x}) + C,
onde C é uma constante de integração que combina C_1 e -C_2.

Passo 5

Agora isolamos y. Aplicando exponencial em ambos os lados:
|y| = e^{\,\ln|y|} = e^{-\ln(1+e^{x})+C} = e^{C}\,(1+e^{x})^{-1}.
Escrevemos e^{C} como uma constante positiva A>0, e removendo o módulo permitimos que a constante assuma sinal arbitrário: isto é, definimos C_1\in\mathbb{R} tal que C_1 = \pm e^{C}. Então a solução geral pode ser escrita compactamente como
y(x)=\frac{C}{1+e^{x}},
onde C\in\mathbb{R} é uma constante arbitrária (inclui C=0, que dá a solução trivial y\equiv 0). Observação: o denominador nunca é zero, então essa expressão é válida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule y^{\prime} a partir de y=\dfrac{C}{1+e^{x}}. Usando derivada do quociente ou regra da cadeia,
y^{\prime} = -C\cdot\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}.
Substituindo na equação original:
(1+e^{x})y^{\prime}+e^{x}y = (1+e^{x})\left(-C\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}\right) + e^{x}\left(\frac{C}{1+e^{x}}\right) = -C\frac{e^{x}}{1+e^{x}} + C\frac{e^{x}}{1+e^{x}} = 0.
Portanto a família y=\dfrac{C}{1+e^{x}} satisfaz a equação para todo C.

Resposta

y(x)=\frac{C}{1+e^{x}},\qquad C\in\mathbb{R}.

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