Seja
o caminho
. Calcular a integral de linha
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde o caminho
é dado por
para
variando em
.
Informações fornecidas que vamos usar:
- A parametrização do caminho:
com e . - O intervalo do parâmetro:
. - O integrando é a forma diferencial
.
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo do caminho dado.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): para calcular uma integral de linha de uma forma
sobre um caminho parametrizado por
, substitui-se
,
, e usa-se
,
. Assim a integral sobre
vira uma integral usual em
de
.
Explicando a fórmula: se
, então
Aqui
é a derivada de
em relação a
e representa como
muda quando andamos pelo caminho; o mesmo para
.
Passo 3
Compute as funções do parâmetro e suas derivadas.
Temos
e
. Portanto as derivadas são
Explicação curta: derivar
dá
; derivar
dá
porque a constante 2 sai como fator.
Passo 4
Substituir
e
no integrando
.
Calculemos primeiro
e
em função de
:
Agora multiplicamos por
e
usando
e
:
Substituindo
e
,
Portanto a forma diferencial ao longo do caminho se reduz a
.
Passo 5
Montar a integral em
e resolver.
A integral de linha torna-se
Aqui usei os limites do parâmetro
(de
a
), que vieram do enunciado.
Passo 6
Calcular a integral simples:
Passo 7
Checagem alternativa (opcional, útil na prova): verificar se o campo é conservativo e usar potencial.
Considere o campo
. Calcular as derivadas parciais:
Como
em todo o plano, o campo é conservativo (num domínio simplesmente conectado), então existe uma função potencial
com
. Encontrando
:
Derivando em
:
Logo
. Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
Os extremos do caminho são
e
. Então
resultando novamente em
. Bom sinal: os dois métodos coincidem.
Resposta
2