Seja \boldsymbol{\lambda}:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{2} o caminho \boldsymbol{\lambda}(t)=(t, 2 t). Calcular a integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}}(x+y) d x+(x-y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}}(x+y)\,dx+(x-y)\,dy
onde o caminho \boldsymbol{\lambda}:[0,2]\to\mathbb{R}^2 é dado por \boldsymbol{\lambda}(t)=(t,2t) para t variando em [0,2].
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A parametrização do caminho: \boldsymbol{\lambda}(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=t e y(t)=2t.
  • O intervalo do parâmetro: t\in[0,2].
  • O integrando é a forma diferencial (x+y)\,dx+(x-y)\,dy.
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo do caminho dado.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): para calcular uma integral de linha de uma forma (P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy) sobre um caminho parametrizado por t, substitui-se x=x(t), y=y(t), e usa-se dx=x'(t)\,dt, dy=y'(t)\,dt. Assim a integral sobre \boldsymbol{\lambda} vira uma integral usual em t de P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t).
Explicando a fórmula: se \boldsymbol{\lambda}(t)=(x(t),y(t)), então
\int_{\boldsymbol{\lambda}}P\,dx+Q\,dy=\int_{t_0}^{t_1}\big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Aqui x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t e representa como x muda quando andamos pelo caminho; o mesmo para y'(t).

Passo 3

Compute as funções do parâmetro e suas derivadas.
Temos x(t)=t e y(t)=2t. Portanto as derivadas são
x'(t)=\frac{d}{dt}t=1, \qquad y'(t)=\frac{d}{dt}(2t)=2.
Explicação curta: derivar t 1; derivar 2t 2 porque a constante 2 sai como fator.

Passo 4

Substituir x(t) e y(t) no integrando (x+y)\,dx+(x-y)\,dy.
Calculemos primeiro x+y e x-y em função de t:
x(t)+y(t)=t+2t=3t, \qquad x(t)-y(t)=t-2t=-t.
Agora multiplicamos por dx e dy usando dx=x'(t)\,dt e dy=y'(t)\,dt:
(x+y)\,dx+(x-y)\,dy =3t\cdot x'(t)\,dt + (-t)\cdot y'(t)\,dt.
Substituindo x'(t)=1 e y'(t)=2,
3t\cdot 1\,dt + (-t)\cdot 2\,dt = 3t\,dt - 2t\,dt = t\,dt.
Portanto a forma diferencial ao longo do caminho se reduz a t\,dt.

Passo 5

Montar a integral em t e resolver.
A integral de linha torna-se
\int_{\boldsymbol{\lambda}}(x+y)\,dx+(x-y)\,dy=\int_{t=0}^{2} t\,dt.
Aqui usei os limites do parâmetro t (de 0 a 2), que vieram do enunciado.

Passo 6

Calcular a integral simples:
\int_{0}^{2} t\,dt=\left[\tfrac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=\tfrac{2^{2}}{2}-\tfrac{0^{2}}{2}=\tfrac{4}{2}=2.

Passo 7

Checagem alternativa (opcional, útil na prova): verificar se o campo é conservativo e usar potencial.
Considere o campo \mathbf{F}=(P,Q)=(x+y,\,x-y). Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=1.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo o plano, o campo é conservativo (num domínio simplesmente conectado), então existe uma função potencial \varphi(x,y) com \nabla\varphi=\mathbf{F}. Encontrando \varphi:
\phi_x=x+y \implies \varphi=\tfrac{x^{2}}{2}+xy+g(y).
Derivando em y:
\phi_y=x+g'(y)\stackrel{!}{=}x-y \implies g'(y)=-y \implies g(y)=-\tfrac{y^{2}}{2}.
Logo \varphi(x,y)=\tfrac{x^{2}}{2}+xy-\tfrac{y^{2}}{2}. Pelo teorema fundamental para campos conservativos,
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi(x(2),y(2))-\varphi(x(0),y(0)).
Os extremos do caminho são \boldsymbol{\lambda}(0)=(0,0) e \boldsymbol{\lambda}(2)=(2,4). Então
\varphi(2,4)=\tfrac{2^{2}}{2}+2\cdot 4-\tfrac{4^{2}}{2}=2+8-8=2, \qquad \varphi(0,0)=0,
resultando novamente em 2. Bom sinal: os dois métodos coincidem.

Resposta

2

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