Seja C o caminho cuja traço coincide com os pontos da elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, e percorrida no sentido anti-horário. Calcular a integral de linha
\oint_{C}(x-y) d x+(x+y) d y

Passo 1

O enunciado dá o caminho fechado C cuja traço é a elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
percorrida no sentido anti-horário. Pede-se calcular a integral de linha
\oint_{C}(x-y)\,dx+(x+y)\,dy.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar ao longo de C pode ser escrita como P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy com P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x+y.
  • O caminho C é fechado e tem orientação anti-horária (sentido positivo).
  • A região D é o interior da elipse (assume-se a>0 e b>0).

Passo 2

Vamos usar o Teorema de Green (explicado aqui com calma): se C é uma curva simples, fechada e positivamente orientada que limita uma região plana D, e P,Q têm derivadas parciais contínuas em um aberto que contém D, então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.
O que isso diz em palavras: em vez de calcular a integral ao longo da fronteira da região, podemos calcular uma integral dupla sobre a área da região do “rotacional” do campo (P,Q). A orientação anti-horária é exatamente a orientação positiva exigida pelo teorema.

Passo 3

Identificar P e Q e calcular as derivadas parciais:
P(x,y)=x-y,\qquad Q(x,y)=x+y.
Calculemos
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1.
Portanto o integrando do teorema de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}(x-y)\,dx+(x+y)\,dy=\iint_{D}2\,dA=2\iint_{D}dA=2\cdot\text{Área}(D).Á
Agora precisamos da área da elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1. Uma forma simples de ver isso é fazer a mudança de variáveis
x=a u,\qquad y=b v,
onde (u,v) varia no disco unitário u^{2}+v^{2}\le 1. O Jacobiano dessa transformação é \det\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix}=ab. Assim
\text{Área}(D)=ab\cdot\text{Área do disco unitário}=ab\cdot\pi=\pi a b.ÁÁá
Substituindo,
\oint_{C}(x-y)\,dx+(x+y)\,dy=2\cdot(\pi a b)=2\pi a b.]

Passo 5

(Verificação por parametrização — só para treinar e ganhar confiança.) Parametrizando a elipse por
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi],
temos dx=-a\sin t\,dt, dy=b\cos t\,dt. Substituindo na integral:
\begin{aligned} (x-y)\,dx+(x+y)\,dy &=(a\cos t-b\sin t)(-a\sin t\,dt)+(a\cos t+b\sin t)(b\cos t\,dt)\\[4pt] &=\bigl(ab+(b^{2}-a^{2})\sin t\cos t\bigr)\,dt. \end{aligned}
Integrando de 0 a 2\pi, o termo com \sin t\cos t dá zero em um período, restando
\int_{0}^{2\pi}ab\,dt=2\pi ab,
confirmando o resultado anterior.]

Resposta

\;2\pi a b

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