Seja
o caminho cuja traço coincide com os pontos da elipse
, e percorrida no sentido anti-horário. Calcular a integral de linha
Passo 1
O enunciado dá o caminho fechado
cuja traço é a elipse
percorrida no sentido anti-horário. Pede-se calcular a integral de linha
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar ao longo de
pode ser escrita como com e . - O caminho
é fechado e tem orientação anti-horária (sentido positivo). - A região
é o interior da elipse (assume-se e ).
Passo 2
Vamos usar o Teorema de Green (explicado aqui com calma): se
é uma curva simples, fechada e positivamente orientada que limita uma região plana
, e
têm derivadas parciais contínuas em um aberto que contém
, então
O que isso diz em palavras: em vez de calcular a integral ao longo da fronteira da região, podemos calcular uma integral dupla sobre a área da região do “rotacional” do campo
. A orientação anti-horária é exatamente a orientação positiva exigida pelo teorema.
Passo 3
Identificar
e
e calcular as derivadas parciais:
Calculemos
Portanto o integrando do teorema de Green é
Passo 4
Pelo Teorema de Green,
Agora precisamos da área da elipse
. Uma forma simples de ver isso é fazer a mudança de variáveis
onde
varia no disco unitário
. O Jacobiano dessa transformação é
. Assim
Substituindo,
Passo 5
(Verificação por parametrização — só para treinar e ganhar confiança.) Parametrizando a elipse por
temos
,
. Substituindo na integral:
Integrando de
a
, o termo com
dá zero em um período, restando
confirmando o resultado anterior.]