Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que podemos reescrever no formato
com
O conteúdo aqui é verificar se a equação é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante dependente só de
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Procuramos um fator integrante
. A condição para
depender só de
é
que é função de
apenas. Logo
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Obtemos
Verifica-se
ou seja, a nova equação é exata.
Passo 4
Para achar a função potencial
tal que
começamos por
onde
é função ainda a determinar.
Passo 5
Derivando em
temos
que deve coincidir com
Assim
Integramos
Logo a potencial é
Resposta
A solução geral, de forma implícita, é
onde
é constante arbitrária.