Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
\left(1+x^{2}\\right) d y+\left(x y+x^{3}+x\right) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1+x^{2})\,dy + (x\,y + x^{3} + x)\,dx = 0
que podemos reescrever no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = x\,y + x^{3} + x, \quad N(x,y) = 1+x^{2}.
O conteúdo aqui é verificar se a equação é exata e, caso não seja, encontrar um fator integrante dependente só de x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x.
Como x \neq 2x, a equação não é exata. Procuramos um fator integrante \mu(x). A condição para \mu depender só de x é
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{x - 2x}{1+x^{2}} = -\frac{x}{1+x^{2}},
que é função de x apenas. Logo
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{x}{1+x^{2}}\,dx\Bigr) = (1+x^{2})^{-\tfrac12}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x). Obtemos
\tilde M = \frac{x\,y + x^{3} + x}{\sqrt{1+x^{2}}}, \qquad \tilde N = \frac{1+x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}} = \sqrt{1+x^{2}}.
Verifica-se
\frac{\partial \tilde M}{\partial y} = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} = \frac{\partial \tilde N}{\partial x},
ou seja, a nova equação é exata.

Passo 4

Para achar a função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \tilde M, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = \tilde N,
começamos por
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \sqrt{1+x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y) = y\,\sqrt{1+x^{2}} + h(x),
onde h(x) é função ainda a determinar.

Passo 5

Derivando em x temos
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y\,\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} + h'(x),
que deve coincidir com
\tilde M = \frac{x\,y + x^{3} + x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Assim
h'(x) = \frac{x^{3} + x}{\sqrt{1+x^{2}}} = x\,\sqrt{1+x^{2}}.
Integramos
h(x) = \int x\,\sqrt{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\,(1+x^{2})^{3/2}.
Logo a potencial é
\varphi(x,y) = y\,\sqrt{1+x^{2}} + \frac{1}{3}\,(1+x^{2})^{3/2}.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, é
y\,\sqrt{1+x^{2}} + \frac{1}{3}\,(1+x^{2})^{3/2} = C,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados