Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
(4 y+2 x-5) d x+(6 y+4 x-1) d y=0, y(-1)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(4y + 2x - 5)\,dx + (6y + 4x - 1)\,dy = 0
com condição inicial y(-1)=2. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: vamos verificar se ela é exata, encontrar uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x = 4y + 2x - 5 e \psi_y = 6y + 4x - 1, e então aplicar a condição inicial.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 4y + 2x - 5, \quad N(x,y) = 6y + 4x - 1.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 4, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 4.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M = 4y + 2x - 5.
Integrando em relação a x:
\psi(x,y) = \int (4y + 2x - 5)\,dx = 4xy + x^2 - 5x + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora exigimos
\frac{\partial \psi}{\partial y} = 4x + h'(y) \stackrel{!}{=} N = 6y + 4x - 1.
Logo
h'(y) = 6y - 1 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = 3y^2 - y.
Portanto
\psi(x,y) = 4xy + x^2 - 5x + 3y^2 - y.

Passo 4

A solução geral implícita é
\psi(x,y) = C,
isto é,
4xy + x^2 - 5x + 3y^2 - y = C.
Para determinar C, usamos y(-1)=2. Substituindo x=-1, y=2:
4\cdot(-1)\cdot2 + (-1)^2 -5\cdot(-1) +3\cdot2^2 -2 = -8 +1 +5 +12 -2 = 8.
Logo C=8.

Passo 5

A solução que satisfaz a condição inicial é a relação implícita
4xy + x^2 - 5x + 3y^2 - y = 8.

Resposta

4xy + x^2 - 5x + 3y^2 - y = 8.

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