Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
d x=\left(3 e^{y}-2 x\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
dx = \bigl(3e^{y} - 2x\bigr)\,dy.
Perceba que podemos vê-la como uma equação de primeira ordem linear em x como função de y. Em outras palavras, vamos escrever
\frac{dx}{dy} + 2x = 3e^{y},
e então usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de x como 2, então o fator integrante é
\mu(y) = e^{\int 2\,dy} = e^{2y}.
Multiplicando toda a equação por \mu(y), obtemos
e^{2y}\,\frac{dx}{dy} + 2\,e^{2y}\,x = 3e^{y}\,e^{2y} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dy}\bigl(x\,e^{2y}\bigr) = 3 e^{3y}.
Agora integramos ambos os lados em relação a y:
x\,e^{2y} = \int 3 e^{3y}\,dy = e^{3y} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Isolando x, dividimos por e^{2y}:
x = e^{3y} \,e^{-2y} + C\,e^{-2y} = e^{y} + C\,e^{-2y}.
Pronto, essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

x(y) = e^{y} + C\,e^{-2y},
onde C é uma constante arbitrária.

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