Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Sugestão:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
e pede a solução geral
. As informações relevantes são:
- A equação é linear com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo é
. - Quer-se a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Plano de ataque (resumido): para uma EDO linear com coeficientes constantes como esta, a solução geral é
onde
é a solução geral da equação homogênea associada
e
é uma solução particular da equação completa. Vou primeiro encontrar
resolvendo a equação característica, depois achar
por coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Vou explicar cada passo.
Passo 3
Resolver a homogênea: supõe-se uma solução do tipo
. Substituindo em
obtém-se a equação característica
Essa é uma equação quadrática; calculemos as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui temos raízes complexas conjugadas
com
e
. Para esse caso a forma real da solução geral homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. Substituindo
e
obtemos
Breve explicação do porquê: raízes complexas
geram fatores
e
, que juntos formam a solução real geral da homogênea.
Passo 4
Escolha de
(método dos coeficientes indeterminados): o termo de forçamento é
. Para um lado direito de forma
costuma-se tentar
com
constantes a determinar. Antes de usar essa tentativa, preciso checar ressonância: se
ou
resolvesse a homogênea, seria necessário multiplicar por
. Isso acontece quando
são raízes da característica. Substituindo
na característica obtém-se
logo
e
não são raízes; não há ressonância. Portanto a escolha
é válida.
Passo 5
Calcular
e
e substituir:
Agora montamos a combinação
. Somando termo a termo:
Agrupando coeficientes de
e
:
Portanto
Queremos que isso seja igual a
, i.e.
Isto gera o sistema linear para
:
Passo 6
Resolver o sistema para
. Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Logo
E então
Portanto a solução particular é
Passo 7
Combinar homogênea e particular para obter a solução geral:
Substituindo as expressões encontradas:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).