Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+4 y=2 \operatorname{sen} t Sugestão: \operatorname{senh} t=\left(e^{t}-e^{-t}\right) / 2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''+y'+4y=2\sin t
e pede a solução geral y(t). As informações relevantes são:
  • A equação é linear com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo é 2\sin t.
  • Quer-se a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Plano de ataque (resumido): para uma EDO linear com coeficientes constantes como esta, a solução geral é
y(t)=y_h(t)+y_p(t),
onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada
y''+y'+4y=0
e y_p é uma solução particular da equação completa. Vou primeiro encontrar y_h resolvendo a equação característica, depois achar y_p por coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Vou explicar cada passo.

Passo 3

Resolver a homogênea: supõe-se uma solução do tipo y=e^{rt}. Substituindo em y''+y'+4y=0 obtém-se a equação característica
r^2+r+4=0.
Essa é uma equação quadrática; calculemos as raízes usando a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{-1\pm\sqrt{1-16}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{-15}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{15}}{2}.
Aqui temos raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta com \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{15}}{2}. Para esse caso a forma real da solução geral homogênea é
y_h(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Substituindo \alpha e \beta obtemos
y_h(t)=e^{-t/2}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)\Big).
Breve explicação do porquê: raízes complexas a\pm ib geram fatores e^{at}\cos(bt) e e^{at}\sin(bt), que juntos formam a solução real geral da homogênea.

Passo 4

Escolha de y_p (método dos coeficientes indeterminados): o termo de forçamento é 2\sin t. Para um lado direito de forma A\cos t+B\sin t costuma-se tentar
y_p(t)=A\cos t+B\sin t,
com A,B constantes a determinar. Antes de usar essa tentativa, preciso checar ressonância: se \cos t ou \sin t resolvesse a homogênea, seria necessário multiplicar por t. Isso acontece quando r=\pm i são raízes da característica. Substituindo r=i na característica obtém-se
i^2+i+4=-1+i+4=3+i\neq0,
logo i e -i não são raízes; não há ressonância. Portanto a escolha y_p=A\cos t+B\sin t é válida.

Passo 5

Calcular y_p' e y_p'' e substituir:
y_p(t)=A\cos t+B\sin t,
y_p'(t)=-A\sin t+B\cos t,
y_p''(t)=-A\cos t-B\sin t.
Agora montamos a combinação y_p''+y_p'+4y_p. Somando termo a termo:
y_p''+y_p'+4y_p = (-A\cos t - B\sin t) + (-A\sin t + B\cos t) + 4(A\cos t + B\sin t).
Agrupando coeficientes de \cos t e \sin t:
\text{coeficiente de }\cos t: -A + B + 4A = 3A + B,
\text{coeficiente de }\sin t: -B - A + 4B = -A + 3B.
Portanto
y_p''+y_p'+4y_p = (3A+B)\cos t + (-A+3B)\sin t.
Queremos que isso seja igual a 2\sin t, i.e.
(3A+B)\cos t + (-A+3B)\sin t = 0\cdot\cos t + 2\sin t.
Isto gera o sistema linear para A,B:
\begin{cases} 3A+B=0,\\[4pt] -A+3B=2. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para A,B. Da primeira equação B=-3A. Substituindo na segunda:
-A+3(-3A)=2 \quad\Rightarrow\quad -A-9A=2 \quad\Rightarrow\quad -10A=2.
Logo
A=-\tfrac{1}{5}.
E então
B=-3A=-3\big(-\tfrac{1}{5}\big)=\tfrac{3}{5}.
Portanto a solução particular é
y_p(t)=-\tfrac{1}{5}\cos t + \tfrac{3}{5}\sin t.

Passo 7

Combinar homogênea e particular para obter a solução geral:
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
Substituindo as expressões encontradas:
y(t)=e^{-t/2}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)\Big)-\tfrac{1}{5}\cos t + \tfrac{3}{5}\sin t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Resposta

y(t)=e^{-t/2}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{15}}{2}t\big)\Big)-\tfrac{1}{5}\cos t + \tfrac{3}{5}\sin t

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