Uma torta gelada é colocada em um forno e assada por uma hora. Depois ela é retirada do forno e esfria até a temperatura ambiente por duas horas. Esboce o gráfico da temperatura da torta em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • A torta começa fria numa temperatura inicial \,T_0.
  • Em t=0 a torta é colocada no forno e fica assando por uma hora; isto é o intervalo 0\le t\le1 (tempo em horas).
  • Em t=1 a torta é retirada do forno e esfria até a temperatura ambiente durante duas horas; isto é o intervalo 1\le t\le3.
    O que se pede: esboçar o gráfico da temperatura da torta T(t) em função do tempo t no intervalo total 0\le t\le3.

Passo 2

Como modelar o aquecimento e o resfriamento de forma física e simples?
Uma boa e habitual aproximação é a Lei de Newton do Resfriamento/Aquecimento: a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do meio e a temperatura do corpo. Em fórmula:
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T_{\text{meio}}-T(t)\bigr),
onde:
  • \,T(t) é a temperatura da torta no instante t;
  • \,T_{\text{meio}} é a temperatura do ambiente que troca calor com a torta (forno ou ambiente);
  • \,k>0 é uma constante que mede a velocidade de troca de calor (depende de superfície, condutividade, convecção etc.).
    Explicação intuitiva: se a torta está mais fria que o meio quente, \,T_{\text{meio}}-T>0 e a torta aquece ( dT/dt>0). Se a torta está mais quente que o meio mais frio, \,T_{\text{meio}}-T<0 e a torta esfria ( dT/dt<0).

Passo 3

Aplicando ao aquecimento (intervalo 0\le t\le1): o meio é o forno com temperatura \,T_{\text{forno}}. A equação é
\frac{dT}{dt}=k_1\bigl(T_{\text{forno}}-T(t)\bigr),\qquad 0\le t\le1,
com condição inicial \,T(0)=T_0.
Resolvendo (separação de variáveis e integração):
\frac{dT}{T_{\text{forno}}-T}=k_1\,dt
integra de 0 a t, resulta
-\ln\bigl(T_{\text{forno}}-T(t)\bigr)+\ln\bigl(T_{\text{forno}}-T_0\bigr)=k_1 t.
Isolando T(t) obtemos a solução explícita do aquecimento:
T(t)=T_{\text{forno}}-\bigl(T_{\text{forno}}-T_0\bigr)e^{-k_1 t},\qquad 0\le t\le1.
Interpretação: T(t) cresce em direção a \,T_{\text{forno}} de forma exponencial (assintoticamente), com rapidez controlada por \,k_1.

Passo 4

Temperatura no instante de retirada ( t=1). Denotar \,T_1=T(1). Do resultado acima:
T_1=T(1)=T_{\text{forno}}-\bigl(T_{\text{forno}}-T_0\bigr)e^{-k_1}.
Esse valor será a condição inicial para a fase de resfriamento.

Passo 5

Resfriamento (intervalo 1\le t\le3): agora o meio é o ambiente com temperatura \,T_{\text{amb}}. A equação é
\frac{dT}{dt}=k_2\bigl(T_{\text{amb}}-T(t)\bigr),\qquad 1\le t\le3,
onde \,k_2>0 é a constante de troca na fase de resfriamento. Com condição inicial T(1)=T_1. Pela mesma técnica de solução, para t\ge1:
T(t)=T_{\text{amb}}+\bigl(T_1-T_{\text{amb}}\bigr)e^{-k_2 (t-1)},\qquad 1\le t\le3.
Observações: se T_1>T_{\text{amb}} (típico), então T(t) decresce exponencialmente em direção a \,T_{\text{amb}}.

Passo 6

Características qualitativas do gráfico (como desenhar):
  • Eixo horizontal: tempo t (horas), marque t=0, t=1 e t=3.
  • Eixo vertical: temperatura T.
  • No ponto t=0 a temperatura é \,T_0 (torta gelada).
  • Para 0\le t\le1 desenhe uma curva crescente, em forma exponencial que sobe rapidamente no começo e vai se aproximando da horizontal correspondente a \,T_{\text{forno}}. A curva é contínua e côncava para cima (segunda derivada positiva).
  • No instante t=1 a curva passa por (1,T_1) e continua continuamente (sem salto) para a fase seguinte; a derivada pode mudar brusca se \,k_1 e \,k_2 forem diferentes, então a inclinação pode ter uma mudança visível nesse ponto.
  • Para 1\le t\le3 desenhe uma curva decrescente exponencial, que sai de T_1 e se aproxima de \,T_{\text{amb}} quando t aumenta; também é côncava para cima (a descida fica cada vez mais suave).
  • Não ligar os extremos por reta: são duas curvas exponenciais distintas, juntadas em t=1.

Passo 7

Exemplo numérico (apenas para ajudar a esboçar concretamente): escolha ilustrativa \,T_0=5^\circ\mathrm{C}, \,T_{\text{forno}}=180^\circ\mathrm{C}, \,T_{\text{amb}}=25^\circ\mathrm{C}, \,k_1=1{,}5\\ \mathrm{h}^{-1}, \,k_2=1{,}0\\ \mathrm{h}^{-1}. Então
T(0)=5^\circ\mathrm{C},\qquad T(0{,}5)=180-\;175e^{-0{,}75}\approx97{,}3^\circ\mathrm{C},
T(1)=180-\;175e^{-1{,}5}\approx140{,}95^\circ\mathrm{C},
resfriando depois
T(2)=25+(140{,}95-25)e^{-1}\approx67{,}7^\circ\mathrm{C},\qquad T(3)\approx40{,}7^\circ\mathrm{C}.
Com esses pontos fica fácil traçar o esboço: curva subindo até \approx141^\circ\mathrm{C} em t=1 e depois descendo para \approx40{,}7^\circ\mathrm{C} em t=3, aproximando-se de 25^\circ\mathrm{C} depois de muito tempo.

Passo 8

Resumo do que desenhar no esboço final:
  • Traçar duas curvas exponenciais conectadas em t=1.
  • Rotular os pontos (0,T_0), (1,T_1) e assinalar a temperatura do forno \,T_{\text{forno}} (linha horizontal superior) e a temperatura ambiente \,T_{\text{amb}} (linha horizontal inferior).
  • Indicar que o eixo horizontal vai de 0 a 3 horas.
    Força e fé: o esboço pedido é exatamente esse formato — duas curvas exponenciais ligadas, crescendo no forno e depois decrescendo ao ambiente.

Resposta

T(t)= \begin{cases} T_{\text{forno}}-\bigl(T_{\text{forno}}-T_0\bigr)e^{-k_1 t}, & 0\le t\le1,\\[6pt] T_{\text{amb}}+\bigl(T_{\text{forno}}-(T_{\text{forno}}-T_0)e^{-k_1}-T_{\text{amb}}\bigr)e^{-k_2 (t-1)}, & 1\le t\le3. \end{cases}]

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