Uma torta gelada é colocada em um forno e assada por uma hora. Depois ela é retirada do forno e esfria até a temperatura ambiente por duas horas. Esboce o gráfico da temperatura da torta em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá estas informações:
- A torta começa fria numa temperatura inicial
. - Em
a torta é colocada no forno e fica assando por uma hora; isto é o intervalo (tempo em horas). - Em
a torta é retirada do forno e esfria até a temperatura ambiente durante duas horas; isto é o intervalo .
O que se pede: esboçar o gráfico da temperatura da tortaem função do tempo no intervalo total .
Passo 2
Como modelar o aquecimento e o resfriamento de forma física e simples?
Uma boa e habitual aproximação é a Lei de Newton do Resfriamento/Aquecimento: a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do meio e a temperatura do corpo. Em fórmula:
Uma boa e habitual aproximação é a Lei de Newton do Resfriamento/Aquecimento: a taxa de variação da temperatura do corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do meio e a temperatura do corpo. Em fórmula:
onde:
-
é a temperatura da torta no instante ; -
é a temperatura do ambiente que troca calor com a torta (forno ou ambiente); -
é uma constante que mede a velocidade de troca de calor (depende de superfície, condutividade, convecção etc.).
Explicação intuitiva: se a torta está mais fria que o meio quente,e a torta aquece ( ). Se a torta está mais quente que o meio mais frio, e a torta esfria ( ).
Passo 3
Aplicando ao aquecimento (intervalo
): o meio é o forno com temperatura
. A equação é
com condição inicial
.
Resolvendo (separação de variáveis e integração):
Resolvendo (separação de variáveis e integração):
integra de
a
, resulta
Isolando
obtemos a solução explícita do aquecimento:
Interpretação:
cresce em direção a
de forma exponencial (assintoticamente), com rapidez controlada por
.
Passo 4
Temperatura no instante de retirada (
). Denotar
. Do resultado acima:
Esse valor será a condição inicial para a fase de resfriamento.
Passo 5
Resfriamento (intervalo
): agora o meio é o ambiente com temperatura
. A equação é
onde
é a constante de troca na fase de resfriamento. Com condição inicial
. Pela mesma técnica de solução, para
:
Observações: se
(típico), então
decresce exponencialmente em direção a
.
Passo 6
Características qualitativas do gráfico (como desenhar):
- Eixo horizontal: tempo
(horas), marque , e . - Eixo vertical: temperatura
. - No ponto
a temperatura é (torta gelada). - Para
desenhe uma curva crescente, em forma exponencial que sobe rapidamente no começo e vai se aproximando da horizontal correspondente a . A curva é contínua e côncava para cima (segunda derivada positiva). - No instante
a curva passa por e continua continuamente (sem salto) para a fase seguinte; a derivada pode mudar brusca se e forem diferentes, então a inclinação pode ter uma mudança visível nesse ponto. - Para
desenhe uma curva decrescente exponencial, que sai de e se aproxima de quando aumenta; também é côncava para cima (a descida fica cada vez mais suave). - Não ligar os extremos por reta: são duas curvas exponenciais distintas, juntadas em
.
Passo 7
Exemplo numérico (apenas para ajudar a esboçar concretamente): escolha ilustrativa
,
,
,
,
. Então
resfriando depois
Com esses pontos fica fácil traçar o esboço: curva subindo até
em
e depois descendo para
em
, aproximando-se de
depois de muito tempo.
Passo 8
Resumo do que desenhar no esboço final:
- Traçar duas curvas exponenciais conectadas em
. - Rotular os pontos
, e assinalar a temperatura do forno (linha horizontal superior) e a temperatura ambiente (linha horizontal inferior). - Indicar que o eixo horizontal vai de
a horas.
Força e fé: o esboço pedido é exatamente esse formato — duas curvas exponenciais ligadas, crescendo no forno e depois decrescendo ao ambiente.