Questão 3. Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
b) (1 ponto)
.
b) (1 ponto)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações importantes fornecidas:
- O termo geral é
. - Note que para
o termo fica , que é uma expressão ambígua; entretanto, um único termo inicial (ou qualquer número finito de termos) não altera a convergência da série, então podemos analisar a série a partir de sem problema.
O objetivo é decidir convergência (ou divergência) da soma dos termos.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada): vou usar o teste da comparação com uma série geométrica simples porque o termo
é positivo para
e parece ter a forma de uma base menor que 1 elevada a
. Essa é uma abordagem direta e elementar (fácil de aplicar em prova). Como verificação alternativa, vou também comentar rapidamente o teste da raiz (que é automático aqui).
Passo 3
Mostro uma desigualdade simples para a base dentro da potência. Para
,
Prova da desigualdade: multiplicando ambos os lados por
dá
que é verdadeira. Assim para todo
tem-se
.
Passo 4
Como para
vale
, ao elevar essas quantidades à potência
(com
inteiro positivo) obtemos
Aqui usei a propriedade óbvia: se
então
para todo
. Portanto, para todos os
,
Passo 5
A série geométrica
converge porque tem razão
com
; seu somatório é finito (por exemplo
). Pelo teste da comparação (comparando termos positivos), se
e
converge então
também converge. Aplicando isso com
conclui-se que
converge.
Passo 6
Observação adicional (teste da raiz, confirmação rápida): o teste da raiz usa
Como
, o teste da raiz também garante convergência absoluta da série. Isso confirma a conclusão da comparação.
Resposta
Converge (convergência absoluta).