Questão 3. Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
b) (1 ponto) \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}
converge ou diverge. Informações importantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^{n}.
  • Note que para n=0 o termo fica \left(\dfrac{0}{1}\right)^{0}=0^{0}, que é uma expressão ambígua; entretanto, um único termo inicial (ou qualquer número finito de termos) não altera a convergência da série, então podemos analisar a série a partir de n=1 sem problema.
    O objetivo é decidir convergência (ou divergência) da soma dos termos a_n.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada): vou usar o teste da comparação com uma série geométrica simples porque o termo a_n é positivo para n\ge1 e parece ter a forma de uma base menor que 1 elevada a n. Essa é uma abordagem direta e elementar (fácil de aplicar em prova). Como verificação alternativa, vou também comentar rapidamente o teste da raiz (que é automático aqui).

Passo 3

Mostro uma desigualdade simples para a base dentro da potência. Para n\ge1,
\frac{n}{2n+1} < \frac{1}{2}.
Prova da desigualdade: multiplicando ambos os lados por 2(2n+1)>0
2n < 2n+1,
que é verdadeira. Assim para todo n\ge1 tem-se \dfrac{n}{2n+1}<\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Como para n\ge1 vale 0<\dfrac{n}{2n+1}<\dfrac{1}{2}, ao elevar essas quantidades à potência n (com n inteiro positivo) obtemos
0 < \left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n} < \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Aqui usei a propriedade óbvia: se 0<x<y<1 então x^{n}<y^{n} para todo n\ge1. Portanto, para todos os n\ge1,
a_n=\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n} < \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 5

A série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} converge porque tem razão r=\dfrac{1}{2} com |r|<1; seu somatório é finito (por exemplo \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=\dfrac{1/2}{1-1/2}=1). Pelo teste da comparação (comparando termos positivos), se 0\le a_n \le b_n e \sum b_n converge então \sum a_n também converge. Aplicando isso com b_n=(1/2)^n conclui-se que
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}
converge.

Passo 6

Observação adicional (teste da raiz, confirmação rápida): o teste da raiz usa
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}.
Como L=\tfrac{1}{2}<1, o teste da raiz também garante convergência absoluta da série. Isso confirma a conclusão da comparação.

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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