Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas, onde precisamos encontrar a solução geral combinando a solução da homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos a equação característica substituindo
por
e
por
, ficando
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, fatoramos
e temos
. Assim, as raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa
. Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, assumindo uma forma para
que se assemelhe ao lado direito da equação.
Passo 5
Observamos que o lado direito é a soma de uma constante (3) e uma função senoidal
. Então, assumiremos
, onde
,
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 7
Simplificamos a equação:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 8
Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
E para a parte constante:
Passo 9
Resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação,
ou
.
Substituindo
na primeira equa��ão:
Então,
.
Passo 10
Agora que temos
,
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.