Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) y'' + y' - 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um problema de equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições iniciais. Nossa missão é encontrar a função que satisfaz a equação e que passa pelos pontos e . Para isso, vamos precisar conhecer como resolver EDOs lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial, temos:
Substituindo na equação:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e . Calculando o discriminante:
Assim, as raízes são:
Portanto:

Passo 5

Com as raízes reais e distintas e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 7

Agora, vamos derivar para usar a segunda condição :
Aplicando :
Isso nos dá a segunda equação:

Passo 8

Agora, vamos resolver o sistema de equações:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Substituindo na equação (1):

Resposta

Então, a solução do problema de valor inicial é:

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