{ 2 s'' + 3 s = 0 ; s(0) = 1 ; s'(0) = 0 }
encontre a solução geral da equação e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares e oscilações harmônicas. Vamos precisar resolver a equação característica, encontrar a solução geral e aplicar as condições iniciais para achar a solução específica. Depois, vamos determinar a amplitude, frequência, fase e período da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Para isso, começamos encontrando a equação característica associada. Substituímos por e por :

Passo 3

Agora, resolvemos essa equação para achar os valores de :
Aqui, como temos raízes imaginárias ( representa a unidade imaginária), isso indica que a solução será uma combinação de funções seno e cosseno, caracterizando um movimento oscilatório.

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é então:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicando a condição inicial :
Agora, derivamos para aplicar a segunda condição :
Aplicando :

Passo 6

Com e , a solução específica fica:

Passo 7

Agora, vamos determinar a amplitude, frequência, fase e período dessa função:
  • Amplitude: O coeficiente na frente do cosseno é 1, então a amplitude é 1.
  • Frequência angular ( ): É o que está dentro do argumento do cosseno, ou seja, .
  • Fase ( ): Não tem termo de fase adicional, então .
  • Período (T): O período é dado por .

Resposta

A solução geral da equação é . A amplitude é 1, a frequência angular é , a fase é 0 e o período é .

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