Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{`}=\left(\cos ^{2} x\right)\left(\cos ^{2} 2 y\right)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de
y' = \cos^2(x)\,\cos^2(2y).
Esse é um problema de equação diferencial de variáveis separáveis: vamos isolar tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro.

Passo 2

Escrevemos
\frac{dy}{dx} = \cos^2(x)\,\cos^2(2y)
e separamos as variáveis:
\frac{dy}{\cos^2(2y)} = \cos^2(x)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo aparece
\int \operatorname{sec}^2(2y)\,dy,
e sabemos que
\int \operatorname{sec}^2(a u)\,du = \frac{1}{a}\tan(a u).
Então
\int \operatorname{sec}^2(2y)\,dy = \frac{1}{2}\tan(2y).
No lado direito usamos
\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}
para obter
\int \cos^2(x)\,dx = \int \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C.

Passo 4

Igualando as duas primitivas:
\frac{1}{2}\tan(2y) = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C.
Multiplicando por 2 e renomeando a constante ( C_1=2C), vem
\tan(2y) = x + \frac{\sin(2x)}{2} + C_1.

Passo 5

Por fim, isolamos y aplicando arco-tangente:
y = \frac{1}{2}\arctan\!\Bigl(x + \tfrac{\sin(2x)}{2} + C_1\Bigr).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = \frac{1}{2}\arctan\!\Bigl(x + \frac{\sin(2x)}{2} + C\Bigr),
onde C é constante arbitrária.

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