Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
t y+2 y=\operatorname{sen}(t) ; y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t\,y' + 2\,y = \sin(t),
com condição inicial y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 para t>0.
Isso é uma EDO de primeira ordem e coeficientes não constantes, mas linear em y. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y' + p(t)\,y = q(t) dividindo tudo por t:
y' + \frac{2}{t}\,y = \frac{\sin(t)}{t}.

Passo 3

O fator integrante \mu(t) é
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr) = \exp(2\ln t) = t^2.

Passo 4

Multiplicamos a equação padronizada por \mu(t)=t^2:
t^2\,y' + 2t\,y = t\,\sin(t).
O lado esquerdo é exatamente a derivada de t^2\,y, pois
\frac{d}{dt}\bigl(t^2 y\bigr) = t^2\,y' + 2t\,y.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(t^2 y\bigr)\,dt = \int t\,\sin(t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad t^2\,y = \int t\,\sin(t)\,dt + C.
Para a integral usamos integração por partes ( u=t, dv=\sin(t)\,dt):
\int t\,\sin(t)\,dt = -t\cos(t) + \sin(t).
Logo
t^2\,y = -t\cos(t) + \sin(t) + C.

Passo 6

Isolando y:
y(t) = \frac{-t\cos(t) + \sin(t) + C}{t^2}.

Passo 7

Usamos a condição inicial y\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1. Substituindo t=\tfrac{\pi}{2}:
1 = y\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{-\tfrac{\pi}{2}\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + C}{(\tfrac{\pi}{2})^2} = \frac{0 + 1 + C}{\tfrac{\pi^2}{4}} = \frac{1+C}{\tfrac{\pi^2}{4}}.
Daí
1+C = \frac{\pi^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{\pi^2}{4} - 1.

Resposta

\boxed{ y(t) = \frac{-t\cos(t) + \sin(t) + \bigl(\tfrac{\pi^2}{4}-1\bigr)}{t^2},\quad t>0. }

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