Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Reconhecemos que ela pode ser escrita como
que está no formato de uma equação de Bernoulli
com
,
e
. Para resolver, faremos a substituição típica de Bernoulli.
Passo 2
Fazemos a substituição
Calculamos então
de onde
Passo 3
Substituindo
e
na equação original
vem
Dividindo tudo por
(considerando
), note que
. Obtemos
Multiplicando por
, chega-se a
que é uma equação linear em
.
Passo 4
Para resolver
usa-se fator integrante
. Multiplicando tudo por
e integrando:
Fazendo integração por partes em
dá
Logo
Passo 5
Voltando à substituição
, temos
Invertendo para
,
Além disso, há a solução singular trivial
.
Resposta
A solução geral é
onde
é a constante de integração.