Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime}+2 t y=2 t e^{-t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 2t\,y = 2t\,e^{-t^{2}}.
Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Identificamos que a equação está na forma
y' + p(t)\,y = g(t),
com p(t)=2t e g(t)=2t\,e^{-t^{2}}. Para esse tipo de equação, o fator integrante é
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr).

Passo 3

Calculando o fator integrante:
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int 2t\,dt\Bigr) = \exp(t^{2}) = e^{t^{2}}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por e^{t^{2}}. Como
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{2}}\bigr) = 2t\,e^{t^{2}},
obtemos
e^{t^{2}}\,y' + 2t\,e^{t^{2}}\,y = 2t\,e^{t^{2}}\,e^{-t^{2}} = 2t.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^{t^{2}}y, isto é,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{2}}y\bigr) = 2t.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{2}}y\bigr)\,dt = \int 2t\,dt \quad\Longrightarrow\quad e^{t^{2}}y = t^{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, dividimos por e^{t^{2}}:
y = \bigl(t^{2} + C\bigr)\,e^{-t^{2}} = t^{2}e^{-t^{2}} + C\,e^{-t^{2}}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(t) = t^{2}e^{-t^{2}} + C\,e^{-t^{2}},
onde C é uma constante arbitrária.

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