Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime}+(1 / t) y=3 \cos (2 t), >0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de 1ª ordem
y' + \frac{1}{t}\,y = 3\cos(2t),\quad t>0.
O conteúdo é resolução de EDO linear de 1ª ordem usando fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int \frac{1}{t}\,dt\Bigr) = t.
Multiplicando a equação por \mu(t), obtemos
t\,y' + y = 3t\cos(2t),
cujo lado esquerdo é exatamente \frac{d}{dt}(t\,y).

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\frac{d}{dt}(t\,y) = 3t\cos(2t) \quad\Longrightarrow\quad t\,y = 3\int t\cos(2t)\,dt + C.
Para computar \displaystyle \int t\cos(2t)\,dt, usamos integração por partes com u=t, dv=\cos(2t)\,dt. Isso dá
\int t\cos(2t)\,dt = \frac{t\sin(2t)}{2} + \frac{\cos(2t)}{4} + C_1.
Então
t\,y = \frac{3t\sin(2t)}{2} + \frac{3\cos(2t)}{4} + C.

Passo 4

Isolando y, chega-se à solução geral
y(t) = \frac{3\sin(2t)}{2} \;+\;\frac{3\cos(2t)}{4t}\;+\;\frac{C}{t},
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(t) = \frac{C}{t} + \frac{3\sin(2t)}{2} + \frac{3\cos(2t)}{4t},\quad C\in\mathbb{R}.

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