Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime}-y=2 t e^{2 t}, y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y' - y = 2\,t\,e^{2t},
com condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é resolução de uma equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
y' + p(t)\,y = g(t),
onde p(t)=-1 e g(t)=2\,t\,e^{2t}. O fator integrante é
\mu(t) = \exp\bigl(\!\int p(t)\,dt\bigr) = \exp\bigl(\!\int -1\,dt\bigr) = e^{-t}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(t)=e^{-t}, obtendo
e^{-t}y' - e^{-t}y = 2\,t\,e^{2t} \,e^{-t} = 2\,t\,e^{t}.
O lado esquerdo é justamente a derivada do produto e^{-t}y, ou seja,
\bigl(e^{-t}y\bigr)' = 2\,t\,e^{t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{-t}y = \int 2\,t\,e^{t}\,dt + C.
Para calcular \int 2\,t\,e^{t}\,dt, usamos integração por partes com u=2t, dv=e^{t}dt. Assim
\int 2\,t\,e^{t}\,dt = 2\,t\,e^{t} - \int 2\,e^{t}\,dt = 2\,t\,e^{t} - 2\,e^{t}.

Passo 5

Substituindo de volta, temos
e^{-t}y = 2\,t\,e^{t} - 2\,e^{t} + C \quad\Longrightarrow\quad y = e^{t}\bigl(2\,t\,e^{t} - 2\,e^{t} + C\bigr) = 2\,t\,e^{2t} - 2\,e^{2t} + C\,e^{t}.
Para determinar C, usamos y(0)=1:
1 = 2\cdot0\cdot e^0 - 2\,e^0 + C\,e^0 = -2 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 3.

Resposta

y(t) = 2\,t\,e^{2t} - 2\,e^{2t} + 3\,e^{t}.

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