Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações importantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
em função de uma variável independente (chamarei de ). - A equação é de segunda ordem (aparece
), então a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias. - Os coeficientes da equação são números (constantes):
, e .
Passo 2
Método escolhido: tentar uma solução do tipo exponencial
. Explicação didática do motivo:
- Para equações lineares com coeficientes constantes é muito comum e eficiente testar soluções da forma
porque derivadas de exponenciais geram fatores simples e , o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para . - Substituindo
temos e . Como , podemos dividir por e obter uma equação apenas em (chamada equação característica).
Substituindo:
Dividindo por
obtemos a equação característica
Passo 3
Resolver a equação quadrática
.
Usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
Portanto as raízes são
Anotar as partes real e imaginária:
e
.
Passo 4
Como as raízes são complexas conjugadas
, a forma geral das soluções reais vem da identidade de Euler. Lembrete rápido de Euler:
As partes real e imaginária de
fornecem duas soluções reais linearmente independentes:
Aqui
e
, então as duas soluções básicas são
Essas duas funções são linearmente independentes (por exemplo, o wronskiano delas não é identicamente zero), logo formam uma base do espaço de soluções.
Passo 5
Construir a solução geral: combinação linear das duas soluções independentes com constantes arbitrárias
e
:
onde
são constantes reais arbitrárias. Esta é a solução geral da equação dada.