Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
2\,y''+2\,y'+y=0
e pede a solução geral y(x). Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y em função de uma variável independente (chamarei de x).
  • A equação é de segunda ordem (aparece y''), então a solução geral deve conter duas constantes arbitrárias.
  • Os coeficientes da equação são números (constantes): 2, 2 e 1.

Passo 2

Método escolhido: tentar uma solução do tipo exponencial y=e^{r x}. Explicação didática do motivo:
  • Para equações lineares com coeficientes constantes é muito comum e eficiente testar soluções da forma y=e^{r x} porque derivadas de exponenciais geram fatores simples r e r^2, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r.
  • Substituindo y=e^{r x} temos y'=r e^{r x} e y''=r^2 e^{r x}. Como e^{r x}\neq 0, podemos dividir por e^{r x} e obter uma equação apenas em r (chamada equação característica).
Substituindo:
2(r^2 e^{r x}) + 2(r e^{r x}) + 1\cdot e^{r x}=0.
Dividindo por e^{r x} obtemos a equação característica
2 r^2 + 2 r + 1 = 0.

Passo 3

Resolver a equação quadrática \;2 r^2 + 2 r + 1 = 0\;.
Usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Primeiro o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot 2\cdot 1 = 4 - 8 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
r = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2\cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\,i}{4} = \frac{-1 \pm i}{2}.
Portanto as raízes são
r_{1} = \frac{-1}{2} + \frac{i}{2},\qquad r_{2} = \frac{-1}{2} - \frac{i}{2}.
Anotar as partes real e imaginária: \alpha = -\tfrac{1}{2} e \beta = \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a forma geral das soluções reais vem da identidade de Euler. Lembrete rápido de Euler:
e^{(\alpha + i\beta)x} = e^{\alpha x}\big(\cos(\beta x) + i\sin(\beta x)\big).
As partes real e imaginária de e^{(\alpha + i\beta)x} fornecem duas soluções reais linearmente independentes:
y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Aqui \alpha = -\tfrac{1}{2} e \beta = \tfrac{1}{2}, então as duas soluções básicas são
y_{1}(x)=e^{-x/2}\cos\!\big(\tfrac{x}{2}\big),\qquad y_{2}(x)=e^{-x/2}\sin\!\big(\tfrac{x}{2}\big).
Essas duas funções são linearmente independentes (por exemplo, o wronskiano delas não é identicamente zero), logo formam uma base do espaço de soluções.

Passo 5

Construir a solução geral: combinação linear das duas soluções independentes com constantes arbitrárias C_1 e C_2:
y(x)=C_{1}\,e^{-x/2}\cos\!\big(\tfrac{x}{2}\big)+C_{2}\,e^{-x/2}\sin\!\big(\tfrac{x}{2}\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias. Esta é a solução geral da equação dada.

Resposta

y(x)=C_{1}\,e^{-x/2}\cos\!\big(\tfrac{x}{2}\big)+C_{2}\,e^{-x/2}\sin\!\big(\tfrac{x}{2}\big)

Exercícios relacionados