Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime}-2 y=t^{2} e^{2 t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem linear
y' - 2y = t^2 e^{2t}
e pede a solução geral. Para resolver precisamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão
y' + P(t)\,y = Q(t),
aqui P(t)=-2 e Q(t)=t^2 e^{2t}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int -2\,dt\Bigr) = e^{-2t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{-2t}y' -2e^{-2t}y = t^2,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada de y\,e^{-2t}, ou seja,
\bigl(y\,e^{-2t}\bigr)' = t^2.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \bigl(y\,e^{-2t}\bigr)' \,dt = \int t^2 \,dt \quad\Longrightarrow\quad y\,e^{-2t} = \frac{t^3}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por e^{2t}:
y(t) = \Bigl(\frac{t^3}{3} + C\Bigr)\,e^{2t}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(t) = \Bigl(\frac{t^3}{3} + C\Bigr)e^{2t}.

Exercícios relacionados