Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+y=3 \operatorname{sen}(2 t)+t \cos (2 t)

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y''+y=3\operatorname{sen}(2t)+t\cos(2t).
O que se pede: encontrar a solução geral y(t) desta equação (todas as soluções, com constantes arbitrárias). Informações relevantes dadas:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O segundo membro (forçante) é a soma de duas funções: \;3\operatorname{sen}(2t)\; e \;t\cos(2t)\;.

Passo 2

Estratégia (apenas declarada, sem resolver aqui): para equações lineares com coeficientes constantes vamos construir a solução geral como soma da solução complementar (solução da homogênea) e de uma solução particular. A linearidade permite tratar cada termo do lado direito separadamente e somar as soluções particulares (princípio da superposição).

Passo 3

Encontrar a solução complementar (solução da homogênea)
y''+y=0.
Vamos resolver a equação característica associada: supondo y=e^{rt} obtemos
r^{2}+1=0.
As raízes são
r=\pm i.
Quando as raízes são \pm i a solução geral da homogênea é combinacão de cosseno e seno:
y_{c}(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Aqui \cos t e \sin t são funções independentes que geram o espaço de soluções da homogênea.)

Passo 4

Procurar uma solução particular para o termo 3\operatorname{sen}(2t).
Como o segundo membro contém \operatorname{sen}(2t), um palpite natural (método dos coeficientes indeterminados) é tentar
y_{p1}(t)=A\cos(2t)+B\operatorname{sen}(2t),
com A,B constantes a determinar. Justificativa breve: A\cos(2t)+B\operatorname{sen}(2t) é forma mais geral cuja derivada segunda volta a combinar \cos(2t) e \operatorname{sen}(2t); não há ressonância porque as soluções homogêneas envolvem \cos t,\sin t (frequência 1), e aqui a frequência é 2.
Calculemos:
y_{p1}''(t)=-4A\cos(2t)-4B\operatorname{sen}(2t).
Portanto
y_{p1}''+y_{p1}=(-4A+A)\cos(2t)+(-4B+B)\operatorname{sen}(2t) = -3A\cos(2t)-3B\operatorname{sen}(2t).
Queremos que isto seja igual a 3\operatorname{sen}(2t). Igualando coeficientes obtemos o sistema
-3A=0,\qquad -3B=3.
Daqui
A=0,\qquad B=-1.
Logo
y_{p1}(t)=-\operatorname{sen}(2t).

Passo 5

Procurar uma solução particular para o termo t\cos(2t).
Como o termo é um polinômio (grau 1) vezes \cos(2t), o palpite pelo método dos coeficientes indeterminados é uma combinação polinomial de mesmo grau multiplicando \cos(2t) e \operatorname{sen}(2t). Ou seja, proponho
y_{p2}(t)=(Ct+D)\cos(2t)+(Et+F)\operatorname{sen}(2t),
com C,D,E,F constantes a determinar. (Escolheu-se grau 1 em t porque o termo forçante é t\cos(2t). Não há ressonância com a homogênea, então não é preciso multiplicar por potências de t.)
Para simplificar os cálculos, defina
u(t)=Ct+D,\qquad v(t)=Et+F,
então
y_{p2}=u\cos(2t)+v\operatorname{sen}(2t).
Calculemos y_{p2}'. Usando derivada produto:
y_{p2}'=u'\cos(2t)+u(-2\operatorname{sen}(2t))+v'\operatorname{sen}(2t)+v(2\cos(2t)).
Como u'=C e v'=E, agrupando termos em \cos(2t) e \operatorname{sen}(2t) temos
y_{p2}'=(C+2v)\cos(2t)+(E-2u)\operatorname{sen}(2t).
Agora derivamos novamente para obter y_{p2}''. Derivando cada termo:
y_{p2}''=(C+2v)'\cos(2t)+(C+2v)(-2\operatorname{sen}(2t))+(E-2u)'\operatorname{sen}(2t)+(E-2u)(2\cos(2t)).
Como (C+2v)'=2v'=2E e (E-2u)'=-2u'=-2C, agrupando:
y_{p2}''=(2E+2(E-2u))\cos(2t)+(-2C-2(C+2v))\operatorname{sen}(2t).
Simplificando os coeficientes:
y_{p2}''=(4E-4u)\cos(2t)+(-4C-4v)\operatorname{sen}(2t).
Substituindo u=Ct+D e v=Et+F,
y_{p2}''=(4E-4Ct-4D)\cos(2t)+(-4C-4Et-4F)\operatorname{sen}(2t).
Somando y_{p2}''+y_{p2} (lembre que y_{p2}=u\cos2t+v\sen2t) obtemos
y_{p2}''+y_{p2}=(-3C\,t+(4E-3D))\cos(2t)+(-3E\,t+(-4C-3F))\operatorname{sen}(2t).
Queremos que isto seja igual a t\cos(2t), ou seja
t\cos(2t)+0\cdot\cos(2t)\\ \text{(termo constante)}\\\ +\\\ 0\cdot t\operatorname{sen}(2t)+0\cdot\operatorname{sen}(2t).
Igualando coeficientes das combinações independentes \;t\cos(2t),\\ \cos(2t),\\ t\operatorname{sen}(2t),\\ \operatorname{sen}(2t)\; obtemos o sistema linear:
-3C=1,\qquad 4E-3D=0,\qquad -3E=0,\qquad -4C-3F=0.
Resolvendo:
-3C=1\Rightarrow C=-\tfrac{1}{3}.
-3E=0\Rightarrow E=0.
Com E=0 a segunda equação dá 4\cdot 0-3D=0\Rightarrow D=0.
Com C=-\tfrac{1}{3} a última equação dá -4\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)-3F=0\Rightarrow \tfrac{4}{3}-3F=0\Rightarrow F=\tfrac{4}{9}.
Logo
y_{p2}(t)=-\tfrac{1}{3}t\cos(2t)+\tfrac{4}{9}\operatorname{sen}(2t).

Passo 6

Combinar as soluções particulares obtidas e a solução complementar.
A solução particular total é a soma das duas particulares (princípio da superposição):
y_{p}(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t) = -\operatorname{sen}(2t)-\tfrac{1}{3}t\cos(2t)+\tfrac{4}{9}\operatorname{sen}(2t).
Simplificando os termos em \operatorname{sen}(2t):
-\operatorname{sen}(2t)+\tfrac{4}{9}\operatorname{sen}(2t)= -\tfrac{5}{9}\operatorname{sen}(2t).
Portanto
y_{p}(t)=-\tfrac{1}{3}t\cos(2t)-\tfrac{5}{9}\operatorname{sen}(2t).
A solução geral é
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t -\tfrac{1}{3}t\cos(2t)-\tfrac{5}{9}\operatorname{sen}(2t),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t -\dfrac{1}{3}t\cos(2t)-\dfrac{5}{9}\operatorname{sen}(2t)

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