Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
desta equação (todas as soluções, com constantes arbitrárias). Informações relevantes dadas:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O segundo membro (forçante) é a soma de duas funções:
e .
Passo 2
Estratégia (apenas declarada, sem resolver aqui): para equações lineares com coeficientes constantes vamos construir a solução geral como soma da solução complementar (solução da homogênea) e de uma solução particular. A linearidade permite tratar cada termo do lado direito separadamente e somar as soluções particulares (princípio da superposição).
Passo 3
Encontrar a solução complementar (solução da homogênea)
Vamos resolver a equação característica associada: supondo
obtemos
As raízes são
Quando as raízes são
a solução geral da homogênea é combinacão de cosseno e seno:
onde
e
são constantes arbitrárias. (Aqui
e
são funções independentes que geram o espaço de soluções da homogênea.)
Passo 4
Procurar uma solução particular para o termo
.
Como o segundo membro contém
, um palpite natural (método dos coeficientes indeterminados) é tentar
com
constantes a determinar. Justificativa breve:
é forma mais geral cuja derivada segunda volta a combinar
e
; não há ressonância porque as soluções homogêneas envolvem
(frequência
), e aqui a frequência é
.
Calculemos:
Portanto
Queremos que isto seja igual a
. Igualando coeficientes obtemos o sistema
Daqui
Logo
Passo 5
Procurar uma solução particular para o termo
.
Como o termo é um polinômio (grau 1) vezes
, o palpite pelo método dos coeficientes indeterminados é uma combinação polinomial de mesmo grau multiplicando
e
. Ou seja, proponho
com
constantes a determinar. (Escolheu-se grau 1 em
porque o termo forçante é
. Não há ressonância com a homogênea, então não é preciso multiplicar por potências de
.)
Para simplificar os cálculos, defina
então
Calculemos
. Usando derivada produto:
Como
e
, agrupando termos em
e
temos
Agora derivamos novamente para obter
. Derivando cada termo:
Como
e
, agrupando:
Simplificando os coeficientes:
Substituindo
e
,
Somando
(lembre que
) obtemos
Queremos que isto seja igual a
, ou seja
Igualando coeficientes das combinações independentes
obtemos o sistema linear:
Resolvendo:
Com
a segunda equação dá
Com a última equação dá
Com
Logo
Passo 6
Combinar as soluções particulares obtidas e a solução complementar.
A solução particular total é a soma das duas particulares (princípio da superposição):
Simplificando os termos em
:
Portanto
A solução geral é
com
constantes arbitrárias.