Questão 3

Considere o sistema năo linear
\left\{\begin{array}{l} d x / d t=x(2-x-y) \\\ d y / d t=y(-1+x) \end{array}\right.
(a) Encontre os pontos críticos.
(b) Para cada ponto crítico, encontre o sistema linearizado correspondente. Calcule autovalores e autovetores; classifique cada ponto crítico quanto ao tipo e estabilidade (do sistema linear e do sistema não linear).
(c) Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada ponto crítico.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt}=x(2-x-y)\\[4pt] \dfrac{dy}{dt}=y(-1+x) \end{array}\right.
e pede:
(a) encontrar os pontos críticos (equilíbrios);
(b) para cada ponto crítico, obter o sistema linearizado (matriz jacobiana avaliada no ponto), calcular autovalores e autovetores, e classificar o tipo e a estabilidade tanto do sistema linear quanto do sistema não linear;
(c) esboçar as trajetórias numa vizinhança de cada ponto crítico.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • As funções do sistema são f(x,y)=x(2-x-y) e g(x,y)=y(-1+x).
  • Os pontos críticos são soluções do sistema \,f(x,y)=0 e \,g(x,y)=0.]

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: resolver o sistema
x(2-x-y)=0,\qquad y(-1+x)=0.
Resolvendo por casos (produto zero):
  • Se x=0, então da segunda equação \,y(-1+0)= -y=0 vem y=0. Logo (0,0) é ponto crítico.
  • Se y=0, então da primeira equação x(2-x)=0 x=0 (já obtido) ou x=2. Logo (2,0) é ponto crítico.
  • Se -1+x=0, então x=1. Substituindo na primeira equação: 1(2-1-y)=0\Rightarrow 1-y=0\Rightarrow y=1. Logo (1,1) é ponto crítico.
Portanto os pontos críticos são
(0,0),\qquad (2,0),\qquad (1,1).

Passo 3

Construir a jacobiana e explicar linearização.
A jacobiana do campo de vetores (f,g) é a matriz das derivadas parciais:
J(x,y)=\begin{pmatrix} \partial f/\partial x & \partial f/\partial y\\[4pt] \partial g/\partial x & \partial g/\partial y \end{pmatrix}.
Calcular as derivadas:
\partial f/\partial x=\dfrac{\partial}{\partial x}\big[x(2-x-y)\big]=(2-x-y)+x(-1)=2-2x-y,
\partial f/\partial y=\dfrac{\partial}{\partial y}\big[x(2-x-y)\big]= -x,
\partial g/\partial x=\dfrac{\partial}{\partial x}\big[y(-1+x)\big]=y,
\partial g/\partial y=\dfrac{\partial}{\partial y}\big[y(-1+x)\big]=-1+x.
Logo
J(x,y)=\begin{pmatrix} 2-2x-y & -x\\[4pt] y & -1+x \end{pmatrix}.
Interpretação (teórica e prática): linearizar no ponto crítico (x_0,y_0) significa aproximar o sistema por
\begin{pmatrix}\dot u\\[4pt]\dot v\end{pmatrix}=J(x_0,y_0)\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix},
onde (u,v) é o deslocamento em relação a (x_0,y_0). As propriedades locais (tipo e estabilidade) do sistema não linear coincidem com as do sistema linearizado quando todos os autovalores de J(x_0,y_0) têm parte real diferente de zero (ponto hiperbólico) — veja Hartman–Grobman.]

Passo 4

Linearização em (0,0).
Avaliar J em (0,0):
J(0,0)=\begin{pmatrix}2-0-0 & -0\\[4pt]0 & -1+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}.
Sistema linearizado:
\dot u = 2u,\qquad \dot v = -v,
onde u=x-0,\;v=y-0.
Autovalores e autovetores:
  • Para \lambda_1=2: matriz (J-\lambda_1 I) dá vetor próprio [1,0]^T. Logo autovetor associado \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para \lambda_2=-1: autovetor \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Classificação do sistema linear em (0,0):
  • Autovalores de sinais opostos ( 2>0, -1<0) ⇒ ponto de sela (saddle). É instável (existe direção de crescimento exponencial).
Consequência para o sistema não linear:
  • Os autovalores têm parte real não nula (hiperbólico), logo pelo teorema de linearização (Hartman–Grobman) o ponto (0,0) é um sela hiperbólica do sistema não linear também; comportamento qualitativo igual ao linear próximo ao ponto.
Descrição das trajetórias próximas:
  • Eixo x (direção [1,0]) é a direção instável: pequenas perturbações em x crescem exponencialmente (saiem do equilíbrio).
  • Eixo y (direção [0,1]) é a direção estável: pequenas perturbações no y decaem exponencialmente para o equilíbrio.]

Passo 5

Linearização em (2,0).
Avaliar J em (2,0):
J(2,0)=\begin{pmatrix}2-2\cdot 2-0 & -2\\[4pt]0 & -1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Sistema linearizado (para (u,v)=(x-2,y-0)):
\begin{pmatrix}\dot u\\[4pt]\dot v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & -2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix}.
Calcular autovalores:
A equação característica é ( -2-\lambda)(1-\lambda)-0=0\Rightarrow \lambda_1=-2,\\ \lambda_2=1.
Autovetores:
  • Para \lambda_1=-2: resolver (J+2I)v=0 dá primeira linha 0\cdot v_1-2 v_2=0\Rightarrow v_2=0. Então autovetor \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para \lambda_2=1: resolver (J- I)v=0 dá primeira linha (-3)v_1-2 v_2=0\Rightarrow 3 v_1 +2 v_2=0. Tomando v_2=3 tem v_1=-2. Autovetor \begin{pmatrix}-2\\\ 3\end{pmatrix} (qualquer múltiplo serve).
Classificação do sistema linear em (2,0):
  • Autovalores com sinais opostos ( -2<0, 1>0) ⇒ sela (saddle), instável.
Consequência para o sistema não linear:
  • Autovalores com parte real não nula ⇒ ponto hiperbólico; a classificação do sistema não linear é a mesma localmente: sela hiperbólica, instável.
Descrição das trajetórias próximas:
  • Direção estável: autovetor \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} (tangente à direção horizontal); perturbações nessa direção decaem (valor associado \lambda=-2).
  • Direção instável: autovetor \begin{pmatrix}-2\\\ 3\end{pmatrix} — isto é, reta passando por (2,0) com declive 3/(-2)=-1{,}5. Perturbações nessa reta crescem exponencialmente saindo do equilíbrio.]

Passo 6

Linearização em (1,1).
Avaliar J em (1,1):
J(1,1)=\begin{pmatrix}2-2\cdot 1-1 & -1\\[4pt]1 & -1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Sistema linearizado (para (u,v)=(x-1,y-1)):
\begin{pmatrix}\dot u\\[4pt]\dot v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix}.
Calcular autovalores:
Determinante característico:
\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -1\\[4pt]1 & -\lambda\end{pmatrix}=(-1-\lambda)(-\lambda)-(-1)(1)=\lambda(1+\lambda)+1=\lambda^2+\lambda+1.
Resolver \lambda^2+\lambda+1=0:
\lambda=\dfrac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}=\,-\dfrac{1}{2}\pm i\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Interpretação:
  • Autovalores são um par complexo conjugado com parte real negativa -\tfrac{1}{2}<0 e parte imaginária \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Isso indica movimento oscilatório (parte imaginária) com decaimento exponencial (parte real negativa): um foco espiralador atraente (stable spiral / stable focus).
Autovetores:
  • Para \lambda=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}, autovetor complexo v satisfaz (-1-\lambda)v_1 - v_2=0\Rightarrow v_2 =(-1-\lambda)v_1. Tomando v_1=1,
v_2 = -1 -\Big(-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) = -\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Ou seja um autovetor complexo v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}. (O autovetor conjugado corresponde ao outro autovalor.) Esses autovetores complexos geram, via partes reais e imaginárias, duas direções reais que combinadas produzem a espiral.
Consequência para o sistema não linear:
  • As partes reais dos autovalores são não nulas (hiperbólico); portanto a classificação linear (foco estável) é válida também para o sistema não linear próximo a (1,1) — o ponto é um espiralador assintoticamente estável (atrator rotacional).
Dinâmica local (detalhada e didática):
  • A solução linear aproximada tem comportamento
(u,v)(t)\approx e^{-t/2}\Big[\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\,p + \sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\,q\Big],
onde p,q são vetores reais obtidos das partes real e imaginária do autovetor. Isso significa que as órbitas giram em torno do ponto (1,1) com frequência angular \omega=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e com fator de decaimento exponencial e^{-t/2}. O sentido da rotação pode ser determinado avaliando o campo: por exemplo para uma pequena perturbação (u,v)=(\varepsilon,0) com \varepsilon>0,
\dot u = -\varepsilon,\qquad \dot v = \varepsilon,
isto indica que u diminui e v aumenta, o que corresponde a rotação no sentido anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio). Portanto as trajetórias espiralam para (1,1) no sentido anti-horário, aproximando-se exponencialmente.]

Passo 7

Resumo das classificações e interpretação física-intuitiva (motivação e como reconhecer na prova).
  • (0,0):
    • Jacobiana: J(0,0)=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}.
    • Autovalores: \lambda_1=2>0,\\ \lambda_2=-1<0.
    • Autovetores: \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
    • Tipo linear: sela (saddle), instável.
    • Tipo não linear (pela linearização): sela hiperbólica, instável.
    • Como esboçar: desenhar uma reta estável vertical (trajectórias que se aproximam ao longo do eixo y) e uma reta instável horizontal (saída ao longo do eixo x); outras trajetórias chegam aproximando-se paralelamente à reta estável no passado e saem seguindo a reta instável no futuro.
  • (2,0):
    • Jacobiana: J(2,0)=\begin{pmatrix}-2&-2\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
    • Autovalores: \lambda_1=-2<0,\\ \lambda_2=1>0.
    • Autovetores: \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} (direção estável) e \begin{pmatrix}-2\\\ 3\end{pmatrix} (direção instável).
    • Tipo linear: sela (saddle), instável.
    • Tipo não linear: sela hiperbólica, instável.
    • Como esboçar: reta tangente estável horizontal (retorna ao ponto quando perturbado nessa direção), e reta tangente instável na direção com declive 3/(-2)=-1{,}5 (as órbitas saem ao longo dessa direção).
  • (1,1):
    • Jacobiana: J(1,1)=\begin{pmatrix}-1&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
    • Autovalores: \lambda=-\tfrac{1}{2}\pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2} (parte real negativa).
    • Autovetores: pares complexos (conforme cálculo acima); as partes reais e imaginárias geram as direções reais de oscilação.
    • Tipo linear: foco espiralador atraente (stable spiral / stable focus).
    • Tipo não linear: foco espiralador atraente (pela linearização, hiperbólico).
    • Como esboçar: curvas em espiral aproximando-se de (1,1) quando t\to+\infty, no sentido anti-horário, com decaimento exponencial da amplitude.]

Passo 8

Instruções práticas para desenhar esboços rápidos numa prova (passo a passo):
  • Localize os pontos (0,0),(2,0),(1,1) no plano.
  • Em (0,0): desenhe o eixo x como a direção instável (setas saindo do ponto) e o eixo y como direção estável (setas apontando para o ponto). Complete algumas curvas que vêm de quadrantes de modo que no futuro saiam perto do eixo x.
  • Em (2,0): desenhe uma pequena reta horizontal através de (2,0) como direção estável (setas para dentro) e a reta com vetor (-2,3) como direção instável (setas para fora). Faça algumas curvas que aproximem tangencialmente a reta estável no futuro e se afastem na direção instável.
  • Em (1,1): desenhe várias espirais concêntricas aproximando-se de (1,1); marque o sentido anti-horário e anote que a amplitude decresce como e^{-t/2}. Essas espirais correspondem à parte imaginária dos autovalores (rotação) e à parte real (decadência).
Observação final de incentivo: os cálculos principais aqui são montar a jacobiana, avaliar nos pontos críticos, resolver polinômio característico 2×2 (fácil de fazer à mão) e interpretar os sinais/partes reais dos autovalores — se fizer isso passo a passo, a classificação fica automática. Vai dar certo!

Resposta

(a) (0,0),\\ (2,0),\\ (1,1).
(b)
  • Em (0,0): J(0,0)=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}. Autovalores \lambda_1=2,\\ \lambda_2=-1. Autovetores \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}. Tipo: sela (instável). Sistema não linear: sela hiperbólica (instável).
  • Em (2,0): J(2,0)=\begin{pmatrix}-2&-2\\[4pt]0&1\end{pmatrix}. Autovalores \lambda_1=-2,\\ \lambda_2=1. Autovetores \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} (para -2), \begin{pmatrix}-2\\\ 3\end{pmatrix} (para 1). Tipo: sela (instável). Sistema não linear: sela hiperbólica (instável).
  • Em (1,1): J(1,1)=\begin{pmatrix}-1&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}. Autovalores \lambda=-\tfrac{1}{2}\pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Autovetores complexos (ex.: para \lambda=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2}, v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\end{pmatrix}). Tipo: foco espiralador assintoticamente estável (stable spiral). Sistema não linear: foco espiralador assintoticamente estável (hiperbólico).
(c) Esboço/descrição das trajetórias locais:
  • Em (0,0): comportamento de sela — direção instável ao longo do eixo x (sai do ponto), direção estável ao longo do eixo y (entra no ponto).
  • Em (2,0): comportamento de sela — direção estável horizontal (autovetor \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}), direção instável ao longo da reta de vetor \begin{pmatrix}-2\\\ 3\end{pmatrix} (sai do ponto).
  • Em (1,1): espirais anti-horárias que convergem para (1,1) com decaimento exponencial do raio aproximadamente e^{-t/2} e frequência angular \omega=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.]

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