Resolva as seguintes integrais utilizando a técnica de Substituição/Mudança de Variável
\int\left(e^{2 x}+2\right)^{1 / 3} e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral usando a técnica de Substituição/Mudança de Variável:
\int\left(e^{2 x}+2\right)^{1/3} e^{2 x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \left(e^{2 x}+2\right)^{1/3} e^{2 x}.
  • Deve-se usar substituição (mudança de variável).
  • Queremos a primitiva (antiderivada) indefinida, ou seja, um resultado com constante de integração C.

Passo 2

Ideia da técnica de substituição (explicação didática):
  • Quando uma integral contém uma “parte interior” e sua derivada aparece multiplicando essa parte, é conveniente definir uma nova variável u igual a essa parte interior.
  • Depois, calcula-se du (a diferencial de u) e substitui-se toda a integral em termos de u e du. Assim a integral costuma ficar mais simples.
  • Regra que vamos usar para potências: se n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui u é a nova variável e n é o expoente.

Passo 3

Escolhendo a substituição apropriada (motivo e cálculo):
  • A parte “interior” aparente é \left(e^{2x}+2\right) porque ela está elevada à potência 1/3. Além disso, a derivada de e^{2x}+2 é 2e^{2x}, que é proporcional a e^{2x} presente no integrando. Isso indica que a substituição vai funcionar bem.
  • Faça a substituição
u = e^{2x}+2.
Agora calculamos du. Diferenciando ambos os lados em relação a x,
du = \frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}+2\bigr)\,dx = 2e^{2x}\,dx.
Isolando e^{2x}\,dx (pois ele aparece no integrando),
e^{2x}\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 4

Substituindo na integral:
  • Substituímos \left(e^{2x}+2\right) por u e e^{2x}\,dx por \dfrac{du}{2}. Assim a integral vira
\int\left(e^{2 x}+2\right)^{1/3} e^{2 x}\,dx = \int u^{1/3}\cdot\frac{du}{2}.
  • Podemos tirar a constante \tfrac{1}{2} para fora da integral:
\int u^{1/3}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{1/3}\,du.

Passo 5

Calcular a integral em u usando a regra da potência:
  • Aqui o expoente é n=\tfrac{1}{3}. Aplicando a fórmula \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C,
\int u^{1/3}\,du = \frac{u^{1/3+1}}{1/3+1} + C = \frac{u^{4/3}}{4/3} + C.
  • Multiplicando pela constante fora \tfrac{1}{2},
\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{4/3}}{4/3} + C = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}u^{4/3} + C = \frac{3}{8}u^{4/3} + C.

Passo 6

Voltar para a variável original e checar (verificação rápida por derivação):
  • Substituindo u = e^{2x}+2 de volta,
\frac{3}{8}u^{4/3}+C = \frac{3}{8}\bigl(e^{2x}+2\bigr)^{4/3}+C.
  • Verificação por diferenciação (mostra que é realmente uma primitiva):
    Calcule \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{3}{8}\bigl(e^{2x}+2\bigr)^{4/3}\right].
    Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left[\frac{3}{8}\bigl(e^{2x}+2\bigr)^{4/3}\right] = \frac{3}{8}\cdot\frac{4}{3}\bigl(e^{2x}+2\bigr)^{1/3}\cdot 2e^{2x}.
Simplificando os fatores \frac{3}{8}\cdot\frac{4}{3}\cdot 2 = 1, obtemos
\bigl(e^{2x}+2\bigr)^{1/3} e^{2x},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{3}{8}\bigl(e^{2x}+2\bigr)^{4/3}+C

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