Resolva as seguintes integrais utilizando a técnica de Substituição/Mudança de Variável
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral usando a técnica de Substituição/Mudança de Variável:
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Deve-se usar substituição (mudança de variável).
- Queremos a primitiva (antiderivada) indefinida, ou seja, um resultado com constante de integração
.
Passo 2
Ideia da técnica de substituição (explicação didática):
- Quando uma integral contém uma “parte interior” e sua derivada aparece multiplicando essa parte, é conveniente definir uma nova variável
igual a essa parte interior. - Depois, calcula-se
(a diferencial de ) e substitui-se toda a integral em termos de e . Assim a integral costuma ficar mais simples. - Regra que vamos usar para potências: se
,
Aqui
é a nova variável e
é o expoente.
Passo 3
Escolhendo a substituição apropriada (motivo e cálculo):
- A parte “interior” aparente é
porque ela está elevada à potência . Além disso, a derivada de é , que é proporcional a presente no integrando. Isso indica que a substituição vai funcionar bem. - Faça a substituição
Agora calculamos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Isolando
(pois ele aparece no integrando),
Passo 4
Substituindo na integral:
- Substituímos
por e por . Assim a integral vira
- Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Passo 5
Calcular a integral em
usando a regra da potência:
- Aqui o expoente é
. Aplicando a fórmula ,
- Multiplicando pela constante fora
,
Passo 6
Voltar para a variável original e checar (verificação rápida por derivação):
- Substituindo
de volta,
- Verificação por diferenciação (mostra que é realmente uma primitiva):
Calcule.
Usando a regra da cadeia:
Simplificando os fatores
, obtemos
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.