Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma e^{r x}.
y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 2y = 0
e queremos encontrar valores de r para os quais existe uma solução do tipo
y = e^{r x}.
O conteúdo usado é o método de substituição de uma solução exponencial em equações lineares homogêneas.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y = e^{r x}. Então a derivada é
y' = r e^{r x}.
Substituindo em y' + 2y = 0 resulta em
r e^{r x} + 2 e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos fatorar e obter a equação característica.

Passo 3

Da fatoração sobra
r + 2 = 0,
que é a equação característica. Basta resolver para r.

Resposta

r = -2.

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