Encontre a solução geral da a equação diferencial homogênea
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea
.
Informações dadas:
- A equação é de segunda ordem e homogênea.
- Os coeficientes são constantes (coeficiente de
é , de é , de é ). - O objetivo é obter a família geral de soluções (contendo duas constantes arbitrárias, pois é segunda ordem).
Passo 2
Estratégia e por quê (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes é muito eficaz tentar soluções do tipo exponencial
, porque derivar exponenciais apenas multiplica por constantes, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para
. Vamos então assumir
As derivadas são fáceis de calcular:
Essas fórmulas vêm diretamente da regra de derivação da exponencial: a derivada de
em relação a
é
, e derivando de novo aparece outro fator
.
Passo 3
Substituição na equação original: substituindo
em
obtemos
Como
nunca é zero para nenhum
, podemos dividir por
e ficamos com a equação algébrica (chamada equação característica):
Passo 4
Resolver a equação característica (passo a passo): é uma quadrática. Use a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
Portanto as raízes são
Denotando
e
, essas são duas raízes reais distintas.
Passo 5
Construir a solução geral e explicar por quê: para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, se a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, então as duas funções
e
são soluções independentes e a combinação linear delas dá a solução geral. Ou seja,
onde
e
são constantes arbitrárias reais (determindas por condições iniciais, se houver). A razão por que qualquer combinação linear funciona é a linearidade da equação: se
e
satisfazem a equação homogênea, então
também satisfaz para quaisquer constantes
.
Passo 6
Aplicando os valores de
e
: substituindo as raízes que encontramos,
obtemos explicitamente
Isso é a solução geral pedida. Se forem dadas condições iniciais (por exemplo
e
), basta substituir
e derivar para montar um sistema linear em
e resolvê-lo.