Encontre a solução geral da a equação diferencial homogênea
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea \,y''-y'-y=0\,.
Informações dadas:
  • A equação é de segunda ordem e homogênea.
  • Os coeficientes são constantes (coeficiente de y'' é 1, de y' é -1, de y é -1).
  • O objetivo é obter a família geral de soluções (contendo duas constantes arbitrárias, pois é segunda ordem).

Passo 2

Estratégia e por quê (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes é muito eficaz tentar soluções do tipo exponencial \,y=e^{rx}\,, porque derivar exponenciais apenas multiplica por constantes, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Vamos então assumir
y=e^{rx}.
As derivadas são fáceis de calcular:
y'=r e^{rx}, \qquad y''=r^{2} e^{rx}.
Essas fórmulas vêm diretamente da regra de derivação da exponencial: a derivada de e^{rx} em relação a x é r e^{rx}, e derivando de novo aparece outro fator r.

Passo 3

Substituição na equação original: substituindo y,y',y'' em \,y''-y'-y=0\, obtemos
r^{2} e^{rx} - r e^{rx} - e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero para nenhum x, podemos dividir por e^{rx} e ficamos com a equação algébrica (chamada equação característica):
r^{2} - r - 1 = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica (passo a passo): é uma quadrática. Use a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
\Delta = (-1)^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5.
Portanto as raízes são
r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Denotando r_{1}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} e r_{2}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}, essas são duas raízes reais distintas.

Passo 5

Construir a solução geral e explicar por quê: para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes, se a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, então as duas funções e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são soluções independentes e a combinação linear delas dá a solução geral. Ou seja,
y(x)=C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais (determindas por condições iniciais, se houver). A razão por que qualquer combinação linear funciona é a linearidade da equação: se y_{a} e y_{b} satisfazem a equação homogênea, então A y_{a}+B y_{b} também satisfaz para quaisquer constantes A,B.

Passo 6

Aplicando os valores de r_{1} e r_{2}: substituindo as raízes que encontramos,
r_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\qquad r_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2},
obtemos explicitamente
y(x)=C_{1}\exp\!\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\,x\right)+C_{2}\exp\!\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\,x\right).
Isso é a solução geral pedida. Se forem dadas condições iniciais (por exemplo y(0) e y'(0)), basta substituir x=0 e derivar para montar um sistema linear em C_{1},C_{2} e resolvê-lo.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}x}+C_{2}e^{\frac{1-\sqrt{5}}{2}x}

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