Um conjunto de funções f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n} é dito LI (linearmente independentes) se c_{1} f_{1}(x)+c_{2} f_{2}(x)+\cdots+c_{n} f_{n}(x)=0 para todo x, implica que c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0. Mostre que as funções abaixo formam um conjunto LI.
\left\{e^{a x},(x+1) e^{b x}\right\} com a \neq b.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de duas funções \{e^{a x},(x+1)e^{b x}\} com a\neq b e pede para mostrar que esse conjunto é LI (linearmente independente).
Informações relevantes que temos:
  • A definição de linearmente independente usada: o conjunto é LI se da igualdade
c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)=0\quad\text{para todo }x
seguir que c_{1}=c_{2}=0.
  • As funções consideradas são f_{1}(x)=e^{a x} e f_{2}(x)=(x+1)e^{b x}.
  • Precisamos provar que se
c_{1}e^{a x}+c_{2}(x+1)e^{b x}=0\quad\text{para todo }x,
então necessariamente c_{1}=c_{2}=0.

Passo 2

Partimos supondo a hipótese com coeficientes quaisquer c_{1},c_{2}\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}):
c_{1}e^{a x}+c_{2}(x+1)e^{b x}=0\quad\text{para todo }x.
O objetivo é usar essa igualdade para obter duas equações simples que forcem c_{1} e c_{2} a serem zero.

Passo 3

Observe que a igualdade vale para todo x, então podemos escolher valores convenientes de x. Escolho primeiro x=-1. Substituindo em c_{1}e^{a x}+c_{2}(x+1)e^{b x}=0 obtemos
c_{1}e^{a(-1)}+c_{2}\underbrace{(-1+1)}_{=0}e^{b(-1)}=0,
ou seja
c_{1}e^{-a}=0.

Passo 4

Explico por que essa igualdade implica c_{1}=0: a função exponencial nunca é zero, isto é, e^{-a}\neq 0 para qualquer a. Portanto, da igualdade c_{1}e^{-a}=0 segue imediatamente
c_{1}=0.

Passo 5

Agora substituímos c_{1}=0 na igualdade inicial. Fica
0 + c_{2}(x+1)e^{b x}=0\quad\text{para todo }x,
ou seja
c_{2}(x+1)e^{b x}=0\quad\text{para todo }x.
Escolhendo um x que torne (x+1) distinto de zero, por exemplo x=0, obtemos
c_{2}(0+1)e^{0}=c_{2}\cdot 1\cdot 1=c_{2}=0.

Passo 6

Concluímos que c_{1}=0 e c_{2}=0 são as únicas constantes que tornam a combinação linear identicamente nula. Isso é exatamente a definição de linearmente independente.

Resposta

As funções e^{a x} e (x+1)e^{b x} são linearmente independentes (isto é, c_{1}=c_{2}=0).

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