Encontre a solução geral da a equação diferencial homogênea
2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-12 y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea
2\,y''+2\,y'-12\,y=0.
Informações fornecidas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem e homogênea com coeficientes constantes.
  • Não foram dadas condições iniciais; portanto queremos a solução geral (com duas constantes arbitrárias).

Passo 2

Escolha do método (intuição passo a passo).
  • Para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes usa-se o método do polinômio característico.
  • A ideia é testar soluções do tipo y=e^{r x}, porque derivadas de uma exponencial produzem fatores constantes que transformam a EDO numa equação algébrica em r.
    Vou então tentar a solução y=e^{r x} (onde r é um número a determinar).

Passo 3

Substituir y=e^{r x} na equação e obter o polinômio característico.
  • Calculando as derivadas: y' = r e^{r x} e y'' = r^{2} e^{r x}.
  • Substituindo em
2\,y''+2\,y'-12\,y=0,
obtém-se
2(r^{2}e^{r x})+2(r e^{r x})-12(e^{r x})=0.
  • Como e^{r x} nunca é zero, pode-se dividir por e^{r x} e obter o polinômio característico
2r^{2}+2r-12=0.

Passo 4

Simplificar o polinômio e resolver a equação característica.
  • Dividindo por 2 para simplificar:
r^{2}+r-6=0.
  • Resolver essa equação quadrática. Usando fatoração ou fórmula de Bhaskara:
r^{2}+r-6=(r+3)(r-2)=0,
portanto os raízes são
r_{1}=2,\qquad r_{2}=-3.

Passo 5

Construir a solução geral a partir das raízes distintas reais.
  • Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da EDO homogênea é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais (determindas por condições iniciais, se existirem).
  • Substituindo r_{1}=2 e r_{2}=-3, obtemos a solução geral da equação dada.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x}

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