Encontre a solução geral da a equação diferencial homogênea
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea
Informações fornecidas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem e homogênea com coeficientes constantes.
- Não foram dadas condições iniciais; portanto queremos a solução geral (com duas constantes arbitrárias).
Passo 2
Escolha do método (intuição passo a passo).
- Para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes usa-se o método do polinômio característico.
- A ideia é testar soluções do tipo
, porque derivadas de uma exponencial produzem fatores constantes que transformam a EDO numa equação algébrica em .
Vou então tentar a solução(onde é um número a determinar).
Passo 3
Substituir
na equação e obter o polinômio característico.
- Calculando as derivadas:
e . - Substituindo em
obtém-se
- Como
nunca é zero, pode-se dividir por e obter o polinômio característico
Passo 4
Simplificar o polinômio e resolver a equação característica.
- Dividindo por
para simplificar:
- Resolver essa equação quadrática. Usando fatoração ou fórmula de Bhaskara:
portanto os raízes são
Passo 5
Construir a solução geral a partir das raízes distintas reais.
- Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e , a solução geral da EDO homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias reais (determindas por condições iniciais, se existirem).
- Substituindo
e , obtemos a solução geral da equação dada.